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第九章 数项级数 § 1 数项级数的收敛性 一、本次课主要内容 级数的收敛与发散概念；收敛性必要条件；收敛级数的性质 二、教学目的与要求 明确认识级数是研究函数的一个重要工具；无穷级数的收敛问题是如何化归为部分和数列收敛问题的；理解解数项级数，级数的基本性质。 三、教学重点难点 1. 数项级数的概念与收敛的转化； 2. 数项级数的性质的理解与运用。 四、教学方法和手段 课堂讲授使用多媒体教学方式。一．概念 ： 1．级数 ：级数 ，无穷级数 ; 通项 ( 一般项 , 第 项 ), 前 项部分和等概念 ( 与中学的有关概念联系 ). 级数常简记为 . 2.级数的敛散性与和 : 介绍从有限和入手, 引出无限和的极限思想 . 以在中学学过的无穷等比级数为蓝本 , 定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念 . 例1 讨论几何级数 的敛散性.（这是一个重要例题！） 解 时, . 级数收敛 ; 时, 级数发散 ; 时, , , 级数发散 ; 时, , , 级数发散 . 综上, 几何级数 当且仅当 时收敛, 且和为 ( 注意 从0开始 ). 例2 讨论级数 的敛散性. 解（利用拆项求和的方法） 例3? 讨论级数 的敛散性. 解 设 , , = , . , . 因此, 该级数收敛. 例4 讨论级数 的敛散性. 解 , . 级数发散. 3. 级数与数列的关系 : 对应部分和数列{ }, 收敛 { }收敛; 对每个数列{ }, 对应级数 , 对该级数, 有 = . 于是,数列{ }收敛 级数 收敛. 可见 , 级数与数列是同一问题的两种不同形式 .? 4. 级数与无穷积分的关系 : , 其中 . 无穷积分可化为级数 ; 对每个级数, 定义函数 , 易见有 = . 即级数可化为无穷积分. 综上所述 , 级数和无穷积分可以互化 , 它们有平行的理论和结果 . 可以用其中的一个研究另一个 . 二.??????????? 级数收敛的充要条件 —— Cauchy准则 ：把部分和数列{ }收敛的Cauchy准则翻译成级数的语言 ， 就得到级数收敛的Cauchy准则 . Th ( Cauchy准则 ) 收敛 和 N, . 由该定理可见, 去掉或添加上或改变 ( 包括交换次序 ) 级数的有限项 , 不会影响级数的敛散性 . 但在收敛时 , 级数的和将改变 . 去掉前 项的级数表为 或. ( 级数收敛的必要条件 ) 收敛 . 例5 证明 级数 收敛 . 证 显然满足收敛的必要条件 . 令 , 则当 时有 应用Cauchy准则时，应设法把式 | |不失真地放大成只含 而不含 的式子，令其小于 ，确定 . 例6 判断级数 的敛散性. ( 验证 . 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件 ) 例7? ( 但级数发散的例 ) 证明调和级数 发散 . 证法一 ( 用Cauchy准则的否定进行验证 ) ? 证法二 证明{ }发散. 利用已证明的不等式 . 即得 ， . 三． 收敛级数的基本性质：（ 均给出证明 ） 性质1 收敛， — Const 收敛且有 = ( 收敛级数满足分配律 ) 性质2 和 收敛 ， 收敛, 且有 = . 问题 : 、 、 三者之间敛散性的关系. 性质3 若级数 收敛 , 则任意加括号后所得级数也收敛 ,且和不变 . ( 收敛数列满足结合律 ) 例8 考查级数 从开头每两项加括号后所得级数的敛散性 . 该例的结果说明什么问题 ? 教学后记： 第九章 数项级数 § 2 上极限与下极限 一、本次课主要内容 数列上极限与下极限概念以及相应运算 二、教学目的与要求 使学生理解上下极限概念。了解上极限和下极限的运算。 三、教学重点难点 1.上下极限的概念。 2.上下极限的运算。 四、教学方法和手段 课堂讲授使用多媒体教学方式。一上、下极限的定义:下面用两种方法