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简谈测量数据处理中的正态分布 彭碧瑶201312123010摘要：基于概率论与数理统计中的正态分布，在实际生产生活中应用广泛，其也可以在测量过程中得以应用。对于测量数据的处理，正态分布的分布方式与模型在误差分析过程发挥着巨大作用。0.引言在测量工作的进行过程中，对于部分客观存在的量，无论测量仪器多么精密、测量方法多么合理，其测量结果总会存在带小不同的差异，用术语来说便是误差。而这时，正态分布模型及其曲线在误差分析和数据处理便发挥了重要作用。1.高斯法导出的偶然误差曲线实际上，测量数据误差的产生原因有很多，正态分布也并不是都能适用的。而在测量过程中所产生的偶然误差（看似无规律）则恰好符合正态分布，因此对于偶然误差的分析与减小，正态分布便是不可或缺的处理数据方式。人们通过大量的实践，总结出偶然误差所具有的特点：①具有界限：在固定的观测条件下，误差的绝对值有一定的限定，换句话说就是超出一定的界限值的误差，其出现的概率为零；②聚集中间：绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；③左右对称：绝对值相等的正负误差出现的概率相等；④互相抵偿：偶然误差的数学期望为零。因此，高斯结合实际测量，导出了偶然误差分布曲线的解析表达式，也就是一维正态分布的密度函数曲线的解析式。高斯法的一个关键是：当n→∞时，l=→μ即算术平均数趋近于该变量的数学期望。因此，可以认为观测值误差Δ和观测值改正数v有相同的特性。设对某随机变量观测n次，出现n个误差Δ1，Δ2，…，Δn，其联合出现的概率为 P(Δ1，Δ2，…，Δn）=f(Δ1)dΔ·f(Δ2)dΔ…f(Δn)dΔ出现这一组Δ，而不出现其他一组，说明这一组误差联合出现的概率最大，上式有最大值，等价于G=f(Δ1)·f(Δ2)…·f(Δn)=max或lnG=ln f(Δ1)+lnf(Δ2)+…+lnf(Δn)=lnf(v1)+ln f(v2)+…+ln f(vn)=max式中，vi=l-li是l=函数，不同的l有不同的vi。要在上式最大条件下找出l，或者说找到这样一个l，使一组v1，v2，…，vn出现的概率最大，因此将上式求导并令其等于零，即因为=1 再令=φ(vi)则有 又因为 =0则必有即 d[lnf(v)]=Cvdvlnf(v)=∫Cvdv=f(v)==A·q其中，A,C是两个待定的常数。因为v和Δ具有相同的特性，将上式的v换成Δ，即 f(Δ)=A· 因为因变量为，上式为偶函数，即满足f(Δ)=f(-Δ),又因为Δ绝对值大，f(Δ)小，即为降函数，令又由偶然误差性质知： dΔ=1, dΔ=1令t=hΔ,则dt=hdΔ,有 dt=1即f(v)=高斯称h为精确度。h值不同，曲线形状不同。由方差定义式得 得 即由此可得 这就是偶然误差分布曲线的解析表达式，若将Δ作为一般的随机变量并用x表示，则数学期望不等于零，设为μ，则由上式可知一维正态分布的密度函数曲线的表达式为 取f(Δ)的一价导数并令其等于零，即（-）=0当Δ=0时，f(0)=为函数的最大值。取f(Δ)的二价导数并令其等于零，即 （）=0由此求出的Δ为曲线拐点的横坐标，其值为 Δ拐=σ以上便是由高斯法导出偶然分布曲线的关系式以及特殊点。2.衡量误差的指标在上面我们已经推出了偶然误差分布曲线符合正态分布的表达式，那么其性质也可以和正态分布对应。在测量数据处理中，需要评定结果的精度，即指偶然误差分布的密集或离散程度，也就是离散度的大小。而精度的高低则与上式中的h和σ有关。在测量中定义按有限次数观测的偶然误差求得的标准差称为中误差，即σ。在σ的几何意义中，σ越小，上面曲线的形状越陡峭，曲线在纵轴方向的顶峰越高，在纵轴两侧越迅速逼近纵轴，表示大误差出现的频率越小，小误差出现的频率越大，偶然误差分布越集中，其对应的精度越高；反之，σ越大，上面曲线的形状越平缓，曲线在纵轴方向的定峰越低，在纵轴两侧越缓慢逼近纵轴，表示大误差出现的频率越大，小误差出现的频率越小，偶然误差分布越分散，其对应的精度越低。而在正态分布曲线具有两个拐点，其值为变量的数学期望，对于偶然误差而言，数学期望是零，所以拐点为。根据正态分布的性质，设以k倍的中误差作为区间，则偶然误差在此区间中出现的概率为P()=分别以k=1,k=2,k=3代入上式，可以得到偶然误差的绝对值不大于中误差、2倍的中误差、3倍的中误差的概率即0.683、0.954、0.997。由此可见，偶然误差的绝对值大于2倍中误差的约占总数的5%，而大于3倍中误差的仅仅占总数的0.3%。而实际上，一般进行的测量次数有限，3倍中误差很少遇到。因此，以2倍中误差作为允许的