第二章 2. 等数列第二章 2. 等差数列.doc

第二章 2. 等差数列 一、课前检测 1.（2010年东城期末20）设数列的前项和为．已知，，．设，求数列的通项公式； 解：依题意，，即， 由此得． 因此，所求通项公式为。 二、知识梳理 1.在解决等差数列问题时，如已知，a1，an，d，，n中任意三个，可求其余两个。 解读： 2.补充的一条性质 1）项数为奇数的等差数列有：， 2）项数为偶数的等差数列有：， 解读： 3.等差数列的判定：{an}为等差数列 即： ； 解读： 4.三个数成等差可设：a，a＋d，a＋2d或a－d，a，a＋d； 四个数成等差可设：a－3d，a－d，a＋d，a＋3d. 解读： 5．等差数列与函数：1）等差数列通项公式与一次函数的关系：从函数的角度考查等差数列的通项公式：an= a1+(n-1)d=d·n+ a1-d, an是关于n的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.k=d=，d=，由此联想点列（n，an）所在直线的斜率.2）点在没有常数项的二次函数上。其中，公差不为0. 解读： 6.等差数列前n项和最值的求法（结合二次函数的图象与性质理解） 1）若等差数列的首项，公差，则前项和有最大值。 （ⅰ）若已知通项，则最大； （ⅱ）若已知，则当取最靠近的非零自然数时最大； 2）若等差数列的首项，公差，则前项和有最小值 （ⅰ）若已知通项，则最小； （ⅱ）若已知，则当取最靠近的非零自然数时最小。 解读： 7.等差数列的定义、通项公式、求和公式、性质等 等 差 数 列 定义 {an}为等差数列an+1-an=d（常数），n∈N+2an=an-1+an+1（n≥2，n∈N+） 通项公式 1）=+（n-1）d=+（n-k）d；=+-d 2）推广：an=am+（n－m）d. 3）变式：a1=an－（n－1）d，d=，d=，由此联想点列（n，an）所在直线的斜率. 求和公式 1） 2）变式：===a1+（n－1）·=an+（n－1）·（－）. 等差中项 1）等差中项：若a、b、c成等差数列，则b称a与c的等差中项，且b=；a、b、c成等差数列是2b=a+c的充要条件.2）推广：2= 重 要 性 质 1 (反之不一定成立)；特别地,当时,有；特例：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…。 2 下标成等差数列且公差为m的项ak，ak+m，ak+2m，…组成的数列仍为等差数列，公差为md. 3 成等差数列。 4 5 增减性 其 它 性 质 1 an=am+（n－m）d. 2 若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{λan+b}（λ、b为常数）是公差为λd的等差数列；若{bn}也是公差为d的等差数列，则{λ1an+λ2bn}（λ1、λ2为常数）也是等差数列且公差为λ1d+λ2d. 3 an=an+b，即an是n的一次型函数，系数a为等差数列的公差； Sn=an2+bn，即Sn是n的不含常数项的二次函数； 三、典型例题分析 题型1 等差数列的基本运算 例1 在等差数列{an}中，(1)已知a15＝10，a45＝90，求a60；(2)已知S12＝84，S20＝460，求S28；(3)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8． 解：(1)方法一：∴a60＝a1＋59d＝130． 方法，an＝am＋(n－m)da60＝a45＋(60－45)d＝90＋15×＝130． (2)不妨设Sn＝An2＋Bn，∴ ∴Sn＝2n2－17n∴S28＝2×282－17×28＝1092 (3)∵S6＝S5＋a6＝5＋10＝15， 又S6＝∴15＝即a1＝－5而d＝ ∴a8＝a6＋2 d＝16S8＝ }的前n项和，求Tn. 解：设等差数列{an}的公差为d，则Sn=na1+n（n－1）d. ∵S7=7，S15=75， ∴即 解得a1=－2，d=1. ∴=a1+（n－1）d=－2+（n－1）=. ∴－=. ∴数列{}是等差数列，其首项为－2，公差为. ∴Tn=n2－n. 小结与拓展：基本量的思想：常设首项、公差及首项，公比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。等差数列中，已知五个元素a1，an，n，d，Sn中的任意三个，便可求出其余两个. 题型2 等差数列的判定与证明 例2 已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，它的前n项和为Sn，且a3＝5，S6＝36. 求数列{an}的通项公式； 解：∵