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第二章 初等模型 【教学目的】：通过用简单的数学方法对一些饶有趣味的实际问题的解决，进一步了解建模的方法，让学生认识到衡量模型优劣的标准是应用的效果而不是采用多么高深的方法。掌握比例方法、类比方法、定性分析方法及量纲分析方法建模的基本特点；能运用所学知识建立数学建模，并对模型进行综合分析；能借助计算机完成课本上部分数学模型有关的计算，分析任务等。 【教学重点难点】： 教学重点：通过一些简单模型（初等模型）阐述一些初等的（数学知识为初等数学或初等微积分知识）数学建模方法和步骤，培养建模意识。并学会如何将讲解的几个实际问题归结为数学问题，并进行求解。 教学难点：问题的描述、初等数学模型的建立和模型的求解，将实际问题与相关的数学知识和数学理论相对应。 【课时安排】：8学时 【教学方法】：采用多媒体教学手段，配合实例教学法，通过对典型例题的讲解启发学生思维，并给与学生适当的课后思考讨论的时间，加深知识掌握的程度。安排一定课时的上机操作。 【教学内容】： §2．1 公平的席位分配 某学校有3个系共200名学生，其中甲系100名，乙系60名，丙系40名。若学生代表会议设20个席位，公平而又简单的席位分配方法是按学生人数的比例分配，显然甲乙丙三系分别应占有10，6，4个席位。 现在丙系有6名学生转入甲乙两系，各系人数如表1第2列所示。仍按比例（表中第三列）分配席位时出现了小数（表中第4列），在将取得整数的10席分配完毕后，三系同意剩下的1席参照所谓惯例分给比例中小数最大的丙系，于是三系仍分别占有10，6，4席（表中第5列）。 因为有20个席位的代表会议在表决提案时可能出现10：10的局面，会议决定下一届增加1席。他们按照上述方法重新分配席位，计算结果见表6，7列。显然这个结果对丙系太不公平，因为总席位增加1席，而丙系却由4席减为3席。 请提出新的分配方法。 表1 某校的席位分配 系 学生人数 学生人数 20个席位的分配 21个席位的分配 别 的比例（%） 比例分配 参照惯例 比例分配 参照惯例 甲 103 51.5 10.3 10 10.815 11 乙 63 31.5 6.3 6 6.615 7 丙 34 17.0 3.4 4 3.570 3 总和 200 100.0 20.0 20 21.000 21 分析：从表1中可见，分配的席位从20-21,丙队名额从4-3，显然是不合理的。为了给出席位分配方案，我们先讨论A,B两方的席位分配方案。 设两方的认输为,占有席位为; 如这样不公平程度可用来衡量；但这是一个绝对指标，有其不合理性，如 =120, =100, = =10 及 =1020, =1000, = =10两种情况指标值是一样的。 所以我们引入相对指标 为对A的不公平度。 如,可定义对B的不公平度 当总席位增加一个时，要么分给A要么分给B,不失一般性可设，即对A不公平。当再分配一个席位时可能有以下3种可能。 ，说明给A增加一个仍然对A不公平，自然分给A。 , 说明给A增加一个席位对B不公平，计算rb(n1+1,n2)。 ，说明给B增加一个席位对A不公平，计算ra(n1,n2+1)。 这样如果则给A方，否则给B. 而上式又等价于 这样我们定义 ， 增加的一席分配给Q值较大的一方。这种席位分配的方法称为Q值法。 §2．2 划艇比赛的成绩 赛艇是一种靠桨手划桨前进的小船，分单人艇、双人艇、四人艇，八人艇四种。各种艇虽然大小不同，但形状相似。T.A.McMahon比较了各种赛艇1964-1970年四次2000m比赛的最好成绩（包括1964年和1968年的两次奥运会和两次世界锦标赛），见表2第1到6列，发现它们之间有相当一致的差别，他认为比赛成绩与桨手数量之间存在着某中联系，于是建立了一个模型来解释这种关系。 表2 各赛艇比赛成绩 200m成绩t（min） 艇长l 艇宽b 艇重(kg) 艇种 1 2 3 4 平均 (m) （m） l / b 桨手数n 单人 7.1