第二章 理论介绍1.doc

第2章 多体系统动力学及基础理论 2.1 多体系统动力学理论基础’Alembert 原理【16-20】。约束方程是指依据各种约束模型所导出的对物体位置、姿态的限制方程和对约束力的释放方程，列出上述方程需要借助于矢量运算规则、位置和姿态关系及运动学规律。方程中的未知量为位置、姿态、力、力矩等,称为系统的广义坐标。多刚体系统动力学采用的广义坐标有绝对坐标和相对坐标, 对于绝对坐标而言, 参照物为固定于大地上的惯性坐标系, 广义坐标为每个刚体相对该惯性坐标系的位置和欧拉角姿态坐标组成;对于相对坐标而言, 系统中的每个物体都依照相应条件选择合适的动态坐标系, 广义坐标由描述物体变形的弹性坐标和描述物体刚性运动的相应参数坐标组成。多刚体系统动力学求解的方程通常为一个微分-代数方程组, 微分方程即为系统运动的动力学方程, 代数方程即为约束方程 根据多体系统的不同结构,也可能只有微分方程或只有代数方程。对于静力学问题, 因为方程中不涉及加速度, 所以微分方程退化为代数方程；而对于动力学方程而言, 由于涉及到了系统的加速度, 所以需要求解全部的微分-代数方程。【21-23】 2.1.1 动力学方程建立方法 20世纪50年代以来科学技术和工业生产的发展，使刚体动力学的研究受到极大的冲击，促使人们不得不面对多刚体系统。随着由大量刚体组成的工程对象的出现，各个刚体部件作不受限制的大位移运动，刚体力学己无法解决这类刚体组合的分析计算问题。加之数字计算机计算能力的飞速增长，从而使对复杂系统进行大规模数字仿真计算的可能性成为现实【24】。为机械、航空、航天、兵器、机器人等领域中大量机械系统的动态性能评估和优化设计提供了强有力的理论工具与技术支撑。 多刚体系统产生有两种建模方法，即笛卡尔和拉格朗日方法后来的完全笛卡尔方法是在笛卡尔法的基础上形成的，主要区别在于刚体位形描述的差异在多刚体系统动力学的分析研究中，为了精简研究问题的规模，均假设柔性体小变形与系统整体运动是相对独立的。 （2.1） μ——对应于非完整约束的拉氏乘子列阵； 一般情况下，力学系统在运动时都会受到某些几何或者运动学特性的限制，这些构成限制条件的具体物体成为约束。如果约束方程仅仅是系统位形和时间的解析方程，则这种约束称为完整约束，完整约束方程的一般形式为： （j=1,2,…,m）; （2.2）为描述系统位形的广义坐标（i=1,2,…,n）;n为广义坐标的个数；m为完整约束方程个数；t为时间。 如果约束方程不仅包含系统的位形，还包括广义坐标对时间的导数或广义坐标的微分，而且不能通过积分使之转化为包含位形和时间的完整约束方程，则这种约束就称之为非完整约束，一介非完整约束方程的一般形式为： （j=1,2,…,m）; （2.3）为描述系统位形的广义坐标（i=1,2,…,n）;为广义坐标对时间的导数；n为广义坐标的个数；m为系统中非完整约束方程个数；t为时间【26】。 上述多体系统动力学理论，动力学和仿真理论技术基础。多体系统动力学发展许多方法，但其共同点都是采用程式化的方法，借助计算机 2.1.2 动力学方程的求解 多刚体系统动力学的研究对象多为复杂的多体系统，其结构和连接方式变化不一，在建立动力学方程的时候困难重重，同时系统动力学方程为非线性高阶方程，方程的建立和求解必须有高性能计算机来完成。本文针对多刚体的复杂性，采用以拉格朗日方程为代表的分析力学方法，拉格朗日法的基本思想是将系统的总动能以系统变量的形式表示，后带入拉格朗日方程，对其求偏导数，得到系统的运动方程。拉格朗日方程为： （i=1,2,…,n） (2.4) 其中 ——第i个质点的广义坐标； ——对应于广义坐标的广义主动力； n——系统方程的阶数 ——系统的总动能 ——系统的总势能 ——系统的总耗散能 在建立动力学的方程时，独立的拉格朗日坐标非常困难，应当采用不独立的笛卡尔广义坐标较为便捷，而一些完整或非完整约束系统带有多余的坐标，通过乘子的拉氏方程处理是非常规范的方法。导出的以笛卡尔广义坐标为变量的动力学方程是与广义坐标数目相同带乘子的微分方程，补充广义坐标的代数使其封闭。 采用微分-代数方程的求解算法进行求解，用GEAR预估-校正算法可有效的求解微分代数方程。通过预估算法以及求解程序来校正，求解非线性方程，最终可得到雅克比矩阵： (2.5) 其中 ——系统刚度矩阵； ——系统阻尼矩阵； ——系统质量矩阵； ——约束反力及作用力列阵； F——描述约束的代数方程列阵 q——广义坐标列阵 ——Gear积分程序的系数值 分解系统雅克比矩阵，重复迭代校正步骤，微分-代数方程的求解算法是重复预