第二章 数列极限第章 数列极限.doc

第二章　数列极限 § 1 实数系的连续性（1） 一、本次课主要内容 数学分析讨论的是实变量之间的函数关系，因此需要先了解实数系的连续性。 二、教学目的与要求 使学生掌握实数的基本性质. 理解实数系具有连续性的分析意义。 三、教学重点难点 1. 理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性； 2. 牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具） 3.实数集的概念及其应用． 四、教学方法和手段 课堂讲授使用多媒体教学方式。 一．实数概念： 1.实数集 ：回顾中学中关于实数集的定义. 2.实数集的几何表示 ─── 数轴: 3.两实数相等的充要条件: 4.区间和邻域: 二. 讲授新课： 几个重要不等式: 1. 绝对值不等式: 定义 [1]P3 的六个不等式. 2. 其他不等式: ⑴ ⑵ 均值不等式: 对 记 (算术平均值) (几何平均值) (调和平均值) 有平均值不等式: 等号当且仅当 时成立. 教学后记： 第二章　数列极限 § 1 实数系的连续性（2） 一、本次课主要内容 讨论实数系的确界存在定理。 二、教学目的与要求 使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念。掌握邻域的概念；理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用。 三、教学重点难点 1.确界的概念及其有关性质（确界原理）。 2.确界的定义及其应用。 四、教学方法和手段 课堂讲授使用多媒体教学方式。 一、区间与邻域 二、有界数集与确界原理: 1.??有界数集: 定义(上、下有界, 有界)， 闭区间、 为有限数）、邻域等都是有界数集，集合 也是有界数集. 无界数集: 定义, 等都是无界数集, 集合 也是无界数集. 2.?确界:给出直观和刻画两种定义. 例1 ⑴ 则 则 例2 非空有界数集的上（或下）确界是唯一的. 例3 设和是非空数集，且有则有. 例4 设和是非空数集. 若对和都有则有 证 是的上界, 是的下界, 例5 和为非空数集, 试证明: 证 有或由和分别是和的下界,有或 即是数集的下界, 又的下界就是的下界, 是的下界, 是的下界, 同理有 于是有.综上,有. 3.? 数集与确界的关系: 确界不一定属于原集合. 以例1⑵为例做解释.? 4.??确界与最值的关系: 设为数集.? ⑴ 的最值必属于, 但确界未必,确界是一种临界点.? ⑵ 非空有界数集必有确界(见下面的确界原理), 但未必有最值. ⑶ 若存在, 必有 对下确界有类似的结论. 三、确界原理: Th1.1 (确界原理) 设为非空数集。若有上界，则必有上确界；若有下界，则必有下确界。? 教学后记： 第二章　数列极限 § 2 数列极限（1） 一、本次课主要内容 极限表示无限趋近的状态，在数学中，常用一些容易求得精确度越来越高的数来逼近无法测量的复杂的数 二、教学目的与要求 使学生建立起数列极限的准确概念；会用数列极限的定义证明数列极限等有关命题。 三、教学重点难点 1.数列极限的概念， 2.极限的定义及其应用。 四、教学方法和手段 课堂讲授使用多媒体教学方式。 一、 引入新课：以齐诺悖论和有关数列引入—— 二、?讲授新课： （一）数列： 1.数列定义——整标函数.数列给出方法: 通项,递推公式.数列的几何意义. 2.特殊数列: 常数列,有界数列,单调数列和往后单调数列. （二） 数列极限: 以 为例. 定义 ( 的 “ ”定义 ) 定义 ( 数列 收敛的“ ”定义 ) 注：1.关于 ：的正值性, 任意性与确定性,以小为贵; 2.关于：的存在性与非唯一性,对只要求存在,不在乎大小.3.的几何意义. （三）用定义验证数列极限： 讲清思路与方法. 例1 例2 例3 例4 证 对任何正整数 时有 就有 取 例5? 证法一 令 有 用Bernoulli不等式，有 或 证法二 （用均值不等式） 例6 证 时， 例7 设 证明 （四）收敛的否定: ? 定义 ( 的“ ”定义 ). 定义 ( 数列 发散