第二节数列的极限第节数列的极限.doc

第二节 极限与连续 第二节 数列的极限 教学目的： 掌握无穷数列及子数列的概念. 掌握无穷数列极限概念的方法. 理解无穷数列极限的性质. 教学重点: 无穷数列极限概念的方法. 无穷数列极限的性质. 教学难点: 1、无穷数列极限概念的方法. 教学内容： 一、概念的引入 1、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”---刘徽（公元3世纪） 2、截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 1. 二、数列的定义 定义:按自然数编号依次排列的一列数 (1) 称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列的项,称为通项(一般项).数列(1)记为.例如 (1) (2) ； (3) (4) ； (5)　. 注意:1、数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取 2、数列是整标函数：. 三、数列极限的定义 问题: 当无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定? 可以看出，随着项数的无限增大，数列(1)、(2)、(5)都有一定的趋向，分别趋近于1、0、1三个数，我们称这三数列分别以这三个数为极限． 1、数列极限的定义 定义1（描述性） 对于无穷数列，如果当项数无限增大时(记为)，通项无限地趋近于一个确定的常数，则称当时，数列以常数为极限，或称数列收敛于，记作 　或　()． 注：当时，如果不趋近于一个确定的常数，则称数列没有极限，或称数列是发散的． 根据上述定义，数列(1)、(2)、(5)的极限存在，且分别为数1、0、1，即 ， ， ． 数列(3)、（4）的极限不存在。 定义1无疑是正确的。但缺乏数学形式的精确的、量化的刻画，比如：什么叫n无限增大时与常数a无限接近 ？所谓“无限接近”即它们的距离可以任意的小，用数学语言说就是：可以任意的小。 以数列(5)为例：就是当n无限增大时， 的项与0的差的绝对值可以任意的小。比如: 给定， 要使， 即要， 只要； 给定，要使，即要，只要； 即要，只要； 容易看出: 要使任意小，只要项数n充分大。我们引入( 表示任意小的数（应为正数），上面的表述改述为 “只要，即项数，就有”. 即在大于的这一项后面的所有项与0的差的绝对值都小于.可更简单地说成“只要项数”，如果再把满足不等式的项数n更明确化,找到正整数N ≥，再让n N，我们再用宽泛的“存在”取代“找到”，上面的表述就变为：存在正整数N，当n N时，就有. 现在我们可以从对实例的分析抽象出一般数列极限的定量性质的定义了： 定义2（定义）　设数列，若存在一个数，对于任意给定的正数(不论它多么小)，总存在一个正整数，使得当时，不等式都成立，则称无穷数列以为极限，或称数列收敛于，记作 　或　()． 为了表达方便，用记号“”表示“对于任意给定的”或“对于每一个”，将“对于任意给定的”写成“”；用“”表示“存在”，将“存在正整数”写成“”，于是数列极限的定义可表达为： ，，当时，有成立． 注意： 3、数列极限的定义未给出求极限的方法. 2、几何解释: 例1 证 ∵ |-|=|-1|=. 对ε0, 要使，只要，即，取自然数N为的整数部，即取N =[]，则当时，恒有 |-1|ε，故 例2 设|q|1，证明. 证 q = 0时，结论显然成立。以下设 0|q|1. ∵ 对ε 0,要使，只要，两边取自然对数，得，即，取，则当，恒有 ，故. 四、收敛数列的性质 性质1：（极限的唯一性）收敛数列的极限必唯一。 证 由定义, 故收敛数列极限唯一. 性质2：（有界性）收敛的数列必定有界. 证 由定义, 性质3：收敛数列的任一子数列也收敛．且极限相同． 证 作业：练习册第二章 第一节 课后小结：