第五章 圆(二).doc

第五章 圆（二） 五、圆内接四边形 1、名称：外接圆，圆内接四边形。 2、性质：①对角互补。②外角等于内对角。③共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等。 3、四点共圆的判定：证四点共圆是建立在四边形的基础上，是平面几何中化未知为已知的过程。 ①从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆。②一组对角互补的四边形，四顶点共圆。一外角等于内对角的四边形，四顶点共圆。③把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等(同弧所对的圆周角相等），从而即可肯定这四点共圆． （若能证明其两顶角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。）④把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆（相交弦定理的逆定理）；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．（割线定理的逆定理）⑤证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．既连成的四边形三边中垂线有交点，即可肯定这四点共圆。⑥同斜边的两个Rt三角形的四个顶点共圆，其斜边为圆的直径。 例1 求证：锐角三角形三边上中点和一边上高的垂足四点共圆。 已知：如图 在△ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB的中点。AP⊥BC于P 求证：D、P、E、F四点共圆。 证明：∵D、E、F分别是BC、CA、AB的中点 ∴DCEF是平行四边形 ∴∠EFD=∠C 又AP⊥BC ∴ EP=EC ∴∠ EPC=∠C ∴∠ EPC=∠EFD ∴D、P、E、F四点共圆。 例2 已知在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F。 求证：F、B、C、E四点共圆 证明：∵DF⊥AB,DE⊥AC ∴AFDE共圆 ∴∠ADF=∠AEF 又AD⊥BC ∴∠ADF+∠BDF=90° 又∠B+∠BDF=90° ∴∠ADF=∠B ∴∠AEF＝∠B ∴F、B、C、E四点共圆 作业： ①求证：钝角三角形各边中点和夹钝角的一边上的高的垂足四点共圆。 ②对角线互相垂直的四边形各边中点四点共圆。 ③M、N是△ABC的AB、AC上的中点，MQ⊥AB交AC于Q，NP⊥AC交AB于P，求证：P、B、C、Q四点共圆。 六、直线和圆的位置关系 1、位置关系①相离 没有交点 d＞r ②相切 一个交点 d=r③相交 两个交点d＜r 2、切线 ⑴判定：①有一个交点②d=r③过半径外端且垂直于半径的直线是切线。 ⑵性质：①过圆心垂直于半径的直线必经过切点。②过切点垂直于切线的直线必经过圆心。③切线垂直于过切点的半径。 ⑶切线长 定理：从圆外一点向圆引切线，这两条切线长相等。 推论①：从圆外一点向圆引两条切线，这点和圆心的连线平分这两条切线所成的角。 推论②：从圆外一点向圆引两条切线，这点和圆心的连线垂直平分连接两切点的弦。 ⑷从圆外一点向圆引切线的方法：以圆外一点P到圆心O的距离为直径作图。(略) ⑸在已知线段上作含有已知弓形角的弧（略） 3、圆幂定理：和圆有关的成比例线段定理。 ①相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，即PA·PB=PC·PD。 　　②切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项,即PT2=PA·PB。 　　③割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有 PA·PB=PC·PD。 统一归纳：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有PA·PB=PC·PD。 总结：过任意不在圆上的一点P引一条直线与圆交于AB两点，PA·PB为定值。 ④以直径为底边的圆内接三角形中的射影定理（略）。 七、圆和圆的位置关系 1、位置关系：①相离 没有交点d＞R+r②外切 一个交点d=R+r③相交 两个交点d＜R+r④内切 一个交点d=R-r⑤内含 没有交点d＜R-r 定理①：两圆相交，连心线垂直平分共弦。 定理②：两圆相切，连心线经过切点。 定理③：两圆相切，连心线垂直于过切点的公切线。 2、公切线： 定理①：两内公切线的长相等。 定理②：两外公切线的长相等。 定理③：连心线经过两公切线的交点。 定理④：连心线平分两公切线所成的角。 注意：①两圆相交时，公共弦是一重要的辅助线。 ②两圆相切时，过切点的公切线是一重要的辅助线。 作业：如图，已知EP切⊙O1于P，PAC交⊙O2于C，PBD交⊙O2于D，求证：CD∥EP 提示：作公共弦AB 八、正多边形 1、定义：各边相等、各角也相等