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第六章 抽样分布及总体平均数的推断 教学目的： 通过本章学习，同学们应理解抽样分布、小概率事件、显著性水平、统计推断的两类错误等基本概念，并熟练掌握总体参数估计和总体平均数的显著性检验的方法。 第一节 抽样分布 一、抽样分布的基本概念 三种不同性质的分布: 1.总体分布：总体内数据的频数分布； 2.样本分布：样本内数据的频数分布； 3.抽样分布：某种统计量的概率分布。平均数的抽样分布：从某一总体中抽出的，容量为n的一切可能样本平均数的分布。 【如】:样本平均数的抽样分布、相关系数的抽样分布。 二、平均数抽样分布的几个定理 1.从总体中随机抽出容量为n的一切可能样本平均数之平均数等于总体平均数。 E表示平均的符号. 2.容量为n的样本平均数在其抽样分布上的标准差，与总体标准差成正比，与样本容量n的方根成反比。 ：是平均数抽样分布上的标准差（一般称作平均数的标准误）。 3.从正态总体中，随机抽取的容量为n的一切可能样本平均数的分布也呈正态分布。 4.虽然总体不是正态分布，如果样本容量n很大，平均数的抽样分布也近似正态分布。 ※：标准误越小，表明统计量与参数值越接近。 三、样本平均数与总体平均数离差统计量的形态 1.总体为正态分布，总体标准差已知时，平均数的离差统计量呈标准正态分布。可写作 2.总体为正态分布，但总体未知，平均数的离差统计量呈t分布。 （1）总体标准差的估计量： （2）平均数的标准误的估计量： （3）平均数的离差统计量： 注： （4）t分布的特点 ① 单峰对称，曲线与基线永不相交； ② t值有正有负，也可为零； ③ t分布是随df=n－1而变化的一簇分布； 参看教材86页。 图例6.1和表6.1 图6.1 自由度为1,2,5, t 分布曲线与正态曲线比较图 表6.1 中央面积为0.95不同自由度t的临界值 自由度 2 4 6 20 30 ∞ t 值 ±4.30 ±2.78 ±2.45 ±2.09 ±2.04 ±1.96 中央面积不变，df不同，t的临界值不同。 df无限大时t分布与正态分布重合。 自由度:公式（6.6）中的n－1统计学中称为自由度（用df 表示，即df ＝n－1）。 自由度：是指总体参数估计量中变量值能独立自由变化的个数。 【例如】： 第二节总体平均数的估计 推断统计有两种形式：参数估计和假设检验。 一、总体平均数估计的基本原理 1.点估计 点估计：用一个样本统计量的值估计出一个具体的总体参数值，就称作点估计。如把样本平均数当作总体平均数。 点估计的评价标准： （1）无偏性：一切可能样本统计量与总体参数的离差和为零。 【如】： ：为无偏估计量，：为有偏估计量。所以 （2）有效性：当总体参数不止有一种无偏估计量时，某一统计量的一切可能样本值的方差小者为有效性高，方差大者为有效性低。 【如】：的有效性高， M0、Md的有效性低。 （3）一致性：当n无限增大时，估计量的值越来越接近它所估计的总体参数值，则这种估计量是总体参数的一致性估计量。 注：点估计既不能指明估计误差大小，也不能说明正确估计的概率大小。 2、区间估计 （1）区间估计：是指以统计量的抽样分布为理论依据，按一定概率要求，由样本统计量的值估计出总体参数值的所在范围。 （2）平均数区间的估计原理： 当总体已知时，根据平均数抽样分布定理，在95％的置信度上估计: 将括号内的不等式整理可得： 为置信上限。 【例】：某区高一学生的英语统考成绩的标准差为６分，从此次考试的试卷中随机抽出100份试卷，算得平均分为71分。试求全区平均成绩的95％和99％的置信区间: 解：∵ 1.95％的置信区间为: 2. 99％的置信区间为： ※：置信度越高，置信区间就越大。 三、未知条件下总体平均数的区间估计 1.基本原理 当已知时，用Z估计；当未知时，其原理与已知时基本相同，只是临界值不固定。95％置信度的临界值可写作：t(df)0.05/2；99％置信度的临界值可写作：t(df)0.01/2。 为标准误，有不同的计算公式。 公式的三种不同形式 2.小样条件下的估计 【例】：某研究人员对红星小学五年级学生进行智力测查，从测查结果中随机抽出16个学生的智力分数，求得平均智力为106分，标准差为5分，试计算该校五年级学生智力分数的99%的置信区间. 99％的置信区间为： 我们有99％的把握说该校五年学生的平均智力在102.18至109.82之间. 3.大样本条件下的估计 总体为正态，未知，但n较大，t分布接近z分布，在这种条件下，既可按t分布估计，也可按z分布估计。t估计准确性高，而z估计简便。 【例】