第四章 第2节第四 第2节.doc

§4.2　同角三角函数的基本关系及诱导公式 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：__________________________. (2)商数关系：__________________________. 2.下列各角的终边与角α的终边的关系 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α 图示 与角α 终边的 关系 角 π－α －α ＋α 图示 与角α 终边的 关系 3.六组诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 余弦 正切 口诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限 [难点正本　疑点清源] 1.同角三角函数的基本关系 (1)同角三角函数的关系是由三角函数的定义决定的.例如：∵sin α＝，cos α＝，∴sin2α＋cos2α＝＝1. (2)利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围进行确定. (3)同角三角函数的基本关系反映了同一个角的不同三角函数之间的必然联系，它为三角函数的化简、求值、证明等又提供了一种重要的方法. 2.三角函数诱导公式f (k∈Z)的本质 三角函数诱导公式f (k∈Z)的本质是：奇变偶不变，符号看象限. 对诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”含义的理解：即诱导公式的左边为·k＋α (k∈Z)的正弦或余弦函数，当k为奇数时，右边的函数名称正余互变；当k为偶数时，右边的函数名称不改变，这就是“奇变偶不变”的含义，再就是将α“看成”锐角(可能并不是锐角，也可能是大于锐角也可能小于锐角还有可能是任意角)，然后分析·k＋α (k∈Z)为第几象限角，再判断公式左边这个三角函数(原函数)在此象限是正还是负，也就是公式右边的符号. 诱导公式的应用是：求任意角的三角函数值，其一般步骤：①负角变正角，再写成2kπ＋α，0≤α2π；②转化为锐角. 1.若sin θ＝－，tan θ0，则cos θ＝________. 2.若tan α＝2，则的值为________. 3. tan(－1 560°)＝________. 4.(2010·全国Ⅱ)已知α是第二象限的角，tan α＝－，则cos α＝________. 5.sin π·cos π·tan的值是(　　) A.－ B. C.－ D. 题型一　同角三角函数的基本关系式的应用 例1　已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝. (1)求tan α的值； (2)把用tan α表示出来，并求其值. 探究提高　(1)对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求.转化的公式为(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；(2)关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子. (1)已知tan α＝2，求sin2α＋sin αcos α－2cos2α； (2)已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，求cos α. 题型二　三角函数的诱导公式的应用 例2　(1)已知cos＝，求cos的值； (2)已知πα2π，cos(α－7π)＝－，求sin(3π＋α)·tan的值. 探究提高　熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题成败的关键.另外，切化弦是常用的规律技巧. (1)化简：； (2)已知f(x)＝，求f的值. 题型三　三角函数式的化简与证明 例3　求证：sin θ(1＋tan θ)＋cos θ＝＋. 探究提高　证明三角恒等式离不开三角函数的变换.在变换过程中，把正切函数化成正弦或余弦函数，减少函数种类，往往有利于发现等式两边的关系或使式子简化.要细心观察等式两边的差异，灵活运用学过的知识，使证明简便. 证明下列恒等式： (1)＝； (2)＝－tan α. 　 　　　　　　　　10.分类讨论思想和整体、化归 思想在三角函数式化简中的应用 试题：(1)(10分)化简：sin＋cos (n∈Z)； (2)(10分)化简： (n∈Z). 审题视角　(1)角中含有变量n，因而需对n的奇偶分类讨论. (2)利用诱导公式，需将角写成符合公式的某种形式，这就需要将角中的某一部分作为一个整体来看. 规范解答 解　(1)当n为偶数时，设n＝2k (k∈Z)，则[1分] 原式＝sin＋cos ＝sin＋cos ＝sin＋cos ＝－sin＋cos ＝－sin＋sin＝0.[4分] 当n为奇数时，设n＝2k＋1 (k∈Z)时，[5分] 原式＝sin＋cos ＝sin＋cos ＝sin＋cos ＝sin＋cos ＝sin－cos ＝sin