第四章 第6节第四 第6节.doc

§4.6　正弦定理和余弦定理 1.正弦定理：________＝________＝________＝2R，其中R是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形为：(1)a∶b∶c＝______________；(2)a＝__________，b＝____________，c＝__________；(3)sin A＝__________，sin B＝________，sin C＝________等形式，以解决不同的三角形问题. 2余弦定理：a2＝________________，b2＝________________，c2＝____________________.余弦定理可以变形为：cos A＝________________，cos B＝__________________，cos C＝________________. 3.S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r. 4.在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角.情况(2)中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分. 余弦定理可解决两类问题： (1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；(2)已知三边问题. [难点正本　疑点清源] 解三角形时，三角形解的个数的判断 在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin Aab a≥b ab 解的个数 一解 两解 一解 一解 1.在△ABC中，若A＝60°，a＝，则＝________. 2.(2010·北京)在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，则a＝________. 3.在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B＝________. 4.△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知c＝3，C＝，a＝2b，则b的值为________. 5.已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝16，则三角形的面积为(　　) A.2 B.8 C. D. 题型一　利用正弦定理求解三角形 例1　在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°.求角A、C和边c. 探究提高　(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可. (2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意. 已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则角A的大小为________. 题型二　利用余弦定理求解三角形 例2　在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且＝－. (1)求角B的大小； (2)若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面积. 探究提高　(1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键. (2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos ＝，·＝3. (1)求△ABC的面积； (2)若b＋c＝6，求a的值. 题型三　正、余弦定理的综合应用 例3　(2011·浙江)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sin A＋sin C＝psin B (p∈R)，且ac＝b2. (1)当p＝，b＝1时，求a，c的值； (2)若角B为锐角，求p的取值范围. 探究提高　在已知关系式中，若既含有边又含有角.通常的思路是：将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求角. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c. (1)若c＝2，C＝，且△ABC的面积为，求a，b的值； (2)若sin C＋sin(B－A)＝sin 2A，试判断△ABC的形状. 　　　　　　　3.代数化简或三角运算不当致误 试题：(12分)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断△ABC的形状. 审题视角　(1)先对等式化简，整理成以单角的形式表示. (2)判断三角形的形状可以根据边的关系判断，也可以根据角的关系判断，所以可以从以下两种不同方式切入：一、根据余弦定理，进行角化边；二、根据正弦定理，进行边化角. 规范解答 解　∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)， ∴b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]， ∴2sin Acos B·b2＝2cos Asin B·a2， 即a2cos