年高考数学热点难点试题考纲解读专题专题17坐标系与参数方程[精心整理].docVIP

【2015年高考考纲解读】 高考对本内容的考查主要有：[来源:学优高考网gkstk] (1)直线、曲线的极坐标方程； (2)直线、曲线的参数方程； (3)参数方程与普通方程的互化； (4)极坐标与直角坐标的互化 ，本内容的考查要求为B级.[来源:学优高考网] 1．直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则 2．直线的极坐标方程 若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝α； (2)直线过点M(a,0)(a0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a； (3)直线过M且平行于极轴：ρsin θ＝b. 3．圆的极坐标方程 若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆方程为： ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ0－r2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r； (2)当圆心位于M(r,0)，半径为r：ρ＝2rcos θ；[来源:学优高考网gkstk] (3)当圆心位于M，半径为r：ρ＝2rsin θ. (4)圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数，0≤θ≤2π)．圆心在点A(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程为r2＝ρ2＋ρ0－2ρρ0cos(θ－θ0)．[来源:学优高考网gkstk] 4．直线的参数方程 经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数)． 设P是直线上的任一点，则t表示有向线段的数量． 5．圆的参数方程 圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数，0≤θ≤2π)． 6．圆锥曲线的参数方程 (1)椭圆＋＝1的参数方程为(θ为参数)． (2)双曲线－＝1的参数方程为(θ为参数)． (3)抛物线y2＝2px(p0)的参数方程为(t为参数). 热点一　极坐标方程和参数方程 【例1】(2014·辽宁)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. (1)写出C的参数方程； (2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程． 命题意图本题主要考查参数方程与普通方程、极坐标方程与普通方程间的转化．结合方程的转化和应用考查考生的应用意识和转化思想． 思路方法(1)先列方程，再进一步转化为参数方程． (2)解出交点，再求得直线方程，最后转化为极坐标方程． 解析(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得 由x＋y＝1，得x2＋2＝1， 即曲线C的方程为x2＋＝1. 故C的参数方程为(t为参数)． (2)由解得或 不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线斜率为k＝， 于是所求直线方程为y－1＝， 化为极坐标方程并整理，得 2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 即ρ＝. 若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴正半轴重合，两坐标系的长度单位相同，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化．求解与极坐标方程有关的问题时，可以转化为熟悉的直角坐标方程求解．若最终结果要求用极坐标表示，则需将直角坐标转化为极坐标． (2013·新课标全国)已知动点P、Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0α2π)，M为PQ的中点． (1)求M的轨迹的参数方程； (2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点． (1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)， 因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)． M的轨迹的参数方程为(α为参数，0α2π)． (2)M点到坐标原点的距离d＝＝(0α2π)． 当α＝π，d＝0，故M的轨迹过坐标原点． 【规律方法】要熟悉常见曲线的参数方程、极坐标方程，如：圆、椭圆、双曲线、抛物线以及过一点的直线，在研究直线与它们的位置关系时常用的技巧是转化为普通方程解答． 【】 在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程． 热点二　极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的互化 【例2】 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，M是C1上的动点，P点满足＝2，点P的轨迹为曲线C2. (1)求C2的方程； (2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于