信号与系统翁剑枫第2章信号通过LTI系统的时域分析1上课用课件.ppt

2.1 引言 LTI系统具有线性和时不变性这两个特性，如果把输入信号分解为某种基本信号的线性组合，然后使分解后的信号分别通过LTI系统，最后把输出叠加起来，就可以完成信号通过系统的时域分析。 在这一章中，首先考察信号在时域上分解的问题，随后是信号通过系统的时域分析。 在时域分解时，所采用的基本信号是单位冲激信号?(t)，也即将信号分解成为?函数的线性组合。 在此基础上，只要确定了?(t)通过LTI系统后的输出，就能够容易地求出信号通过系统后的输出，这样也就完成了信号通过系统的时域分析。 2.2 信号的时域分解 2.2.1 时域分解表达式及其物理意义 首先考察下面的数学表达式 表达式（2-1）在前面1.3.2小节介绍?(t)性质时已经指出，这个表达式的物理意义是指任何一个连续时间信号可以分解为单位冲激信号的线性组合。 下面对此进行展开说明。 式（2-1）的右端为信号f(t)，而左端是一个定积分，从高等数学中定积分的概念可知这是一个无穷和的极限。 因此，式（2-1）左端的定积分可以近似表达为一个无穷和，即 式（2-2）右端和式中的每一项的物理意义是发生时刻为 （或 ）、强度为 （或 ）的?函数，而和式中无限个?函数的合成结果就是f(t)。 因此，式（2-1）的物理意义是f(t)可以分解为无限个?函数的线性组合。 2.2.2 信号时域分解的进一步考察 现对信号的时域分解作进一步解释。 为简单起见，设f(t)为图2-1所示的有限时长信号。 现将f(t)等分成时长等于 的N个分段，设其第n个分段的时间起点为 ，则其终点为 。显然，在N很大时，f(t)在 内的幅度可以近似表示为 。 因此，f(t)的第n个分段可近似表示为 而f(t)就可近似表示为这个分段之和，即 2.3 信号通过LTI系统的时域分析与卷积积分 2.3.1 分析 如图2-2所示，假设LTI系统处于初始松弛状态，输入信号为x(t)，则利用LTI系统的线性和时不变性，输出信号为 其中， 是LTI系统的单位冲激响应，其意义是LTI系统在初始松弛状态下对单位冲激信号的响应，也即LTI系统对单位冲激信号的零状态响应。 显然，这个响应信号也可视为一个连续时间信号。 由于工程中的许多实际系统都能够视为LTI系统，因此单位冲激响应是个极为重要的概念，初学者对此务必理解掌握。 上述形式的两个信号乘积的积分称为卷积分，简称卷积。 文献中通常用符号“*”来表示，即 对式（2-8）中的积分变量作变量置换，令 ，因此 ， ，得到 比较式（2-8）、式（2-9）可知，卷积服从交换律。 这个性质在以后会经常使用到。 在某些问题中，可以把输入信号与系统单位冲激响应的角色互换以使问题得到简化。 在介绍卷积的重要性质时，将对此作进一步说明。 需要指出的是，尽管从理论上来说，只要知道了LTI系统的单位冲激响应h(t)，系统对于任何已知输入x(t)的输出y(t)都可通过x(t)与h(t)的卷积求出，但如果信号x(t)或系统的单位冲激响应h(t)不能由闭式表达，或者积分结果不能用闭式表达，则卷积分的计算非常麻烦。 由于这个缘故，式（2-8）或式（2-9）在很大程度上主要具有分析意义而不是计算意义。 实际上，这也是为什么在大规模数字集成电路技术未得到充分发展前，很多技术尽管在原理上已经探明却无法得到实际应用的缘故。 【例2-1】 求任意连续时间信号x(t)与?(t)的卷积。 解 根据定义，有 【例2-2】 已知输入信号x(t)是图2-3（a）所示的矩形脉冲，系统的单位冲激响应h(t)是