2014,1海淀区高二年级第一学期期末数学参考答案(理科)2014,1海淀区高二年级第一学期期末数学参考答案(理科).doc

海淀区高二年级第一学期期末练习 数学（理科） 参考答案及评分标准 2014．01 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分. 题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 答案 C D B A D B C B 二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. （9） （10） （11）或 （12） （13） （14）①②④ 注：（11）题少一个答案扣2分. 三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）设，则，，.……………………2分 因为 直线， 所以 ，即. ………………………4分 所以 动点的轨迹C的方程为（）. ………………………5分 （Ⅱ）当时，因为 ，所以 . 所以 直线的倾斜角为或. 当直线的倾斜角为时，直线的方程为；……………8分 当直线的倾斜角为时，直线的方程为. …………10分 （16）（本小题满分11分） 解：（Ⅰ）原方程等价于. 由方程可知：，，，. ……………………3分 所以 椭圆的焦点坐标为，，长轴长为.……………5分 （Ⅱ）由可得:. 解得：或. 所以 点的坐标分别为，. ………………………7分 所以 中点坐标为，. ……………9分 所以 以线段为直径的圆的圆心坐标为，半径为. 所以 以线段为直径的圆的方程为. …………………11分 （17）（本小题满分11分） （Ⅰ）证明：在正方形中，. 因为，， 所以 平面． ………………………1分 因为 平面， 所以 ． ………………………2分 同理，． 因为 ， 所以 平面． ………………………3分 （Ⅱ）解：连接，由（Ⅰ）知平面． 因为 平面， 所以 ． ………………………4分 因为 ，， 所以 ． 分别以，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 如图所示. 由题意可得：，，，． 所以，，，． 设平面的一个法向量， 则 即 令，得. 所以 ． 同理可求：平面的一个法向量． ………………………6分 所以 ． 所以 二面角的余弦值为． ………………………8分 （Ⅲ）存在．理由如下： 若棱上存在点满足条件，设，． 所以 ．…………………9分 因为 平面的一个法向量为． 所以 ． 令 解得：. 经检验． 所以 棱上存在点，使直线与平面所成的角是， 此时的长为． ………………………11分 （18）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由知， 和不在椭圆上，即椭圆经过，，. 于是. 所以椭圆的方程为：. ………………………2分 （Ⅱ）①当时，设直线，由得 . 设，则， 所以 . 于是，此时， 所以直线. 因为， 故线段与轴相交于， 即原点在线段的延长线上， 即原点在的外部，符合题设. ………………………6分 所以 . 当时取到最大值. ………………………9分 ②当时，不妨设. 设直线， 由得. 所以或. 所以. 由，可得直线. 由得. 所以. 所以线段与轴相交于. 显然原点在线段上，即原点在的内部，不符合题设. 综上所述，所求的面积的最大值为. ……………………12分 注：对于其它正确解法，相应给分.