[2013年数学高考总复习重点精品课件专题复习讲义1-1-4导数及其应用课件.ppt

第4课时　导数及其应用 (3)曲线的切线与曲线的公共点的个数可能不是唯一的，公共点的个数可随曲线及曲线上切点的位置的改变而不同． 3．函数的性质与导数 (1)在区间(a，b)内，如果f′(x)0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增． 在区间(a，b)内，如果f′(x)0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减； (2)求极值的步骤 ①求f′(x)； ②求f′(x)＝0的根； ③判定根两侧导数的符号； ④下结论． (3)求函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤 ①求f′(x)； ②求f′(x)＝0的根(注意取舍)； ③求出各极值及区间端点处的函数值； ④比较其大小，得结论(最大的就是最大值，最小的就是最小值). (2012·新课标全国卷)曲线y＝x(3ln x＋1)在点(1,1)处的切线方程为________． 求曲线切线方程的步骤 (1)求出函数y＝f(x)在点x＝x0的导数f′(x0)，即曲线y＝f(x)在点P(x0, f(x0))处切线的斜率； (2)已知或求得切点坐标P(x0, f(x0))，由点斜式得切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)． 注意：①当曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，由切线定义可知，切线方程为x＝x0；②当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解． 答案：　D (2012·朝阳区统一考试)已知函数f(x)＝ln(ax＋1)＋(x≥0，a为正实数)． (1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)求函数f(x)的单调区间． 利用导数研究函数单调性的步骤： 第一步：确定函数f(x)的定义域； 第二步：求f′(x)； 第三步：解方程f′(x)＝0在定义域内的所有实数根； 第四步：将函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和各实数根按从小到大的顺序排列起来，分成若干个小区间； 第五步：确定f′(x)在各小区间内的符号，由此确定每个区间的单调性． [提醒]　(1)当一个函数的递增或递减区间有多个时，不能盲目地将它们取并集． (2)当f(x)不含参数时，也可以通过解不等式f′(x)＞0(或f′(x)＜0)直接得到单调递增(或递减)区间． 因为函数g(x)在区间x∈[－3,2]上单调递增， 所以h(x)＝－x2－3x＋c－1≥0在x∈[－3,2]上恒成立． 只要h(2)≥0，解得c≥11， 所以c的取值范围是[11，＋∞)． (2012·北京卷)已知函数f(x)＝ax2＋1(a＞0)，g(x)＝x3＋bx. (1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值； (2)当a2＝4b时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值． 解析：　(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b， 因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)． 即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b. 解得a＝3，b＝3. (1)利用导数研究函数的极值的一般步骤 ①确定定义域． ②求导数f′(x)． ③a.若求极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检验f′(x)在方程根右值的符号，求出极值．(当根中有参数时要注意分类讨论根是否在定义域内) b．若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况，从而求解． (2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤 ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值． ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 3．(2012·江苏卷)若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．已知a，b，是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点． (1)设a和b的值； (2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点． 解析：　(1)由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0， 解得a＝0，b＝－3. (2)由(1)知f(x)＝x3－3x.因为f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2，于是函数g(x)的极值点只可能是1或－2. 当x＜－2时，g′(x)＜0；当－2＜x＜1时，g′(x)＞0，故－2是g(x)的极值点． 当－2＜x＜1或x＞1时，g′(x)＞0，故1不是g(x)的极值点．所以g(x)的极值点为－2. 利用导数探究不等式