2014中考数学试题分类汇编——二次函数压轴题2014中考数学试题分类汇编——二次函数压轴题.doc

2014中考数学试题分类汇编——二次函数压轴题 1. 【试题】（2014年湖北孝感第25题）如图1，矩形的边在轴上，抛物线经过点、点，与轴交于点、点，且其顶点在上． （1）请直接写出下列各点的坐标： ☆ ， ☆ ， ☆ ， ☆ ； （2）若点是抛物线上一动点（点不与点、点重合），过点作轴的平行线与直线交于点，与直线交于点，如图2． ①当线段=时，求点的坐标； ②当点在直线下方时，点在直线上，且满足△∽△，求△面积的最大值． 　　 【解答】 （1）A（0，3），B（4，3），C（4，－1），D（0，－1）． （2）①设直线BD的解析式为，由于直线BD经过D（0，－1），B（4，3）， ∴，解得，∴直线BD的解析式为． 设点P的坐标为，则点H，点G． 1°当且x≠4时，点G在PH的延长线上，如图①． ∵PH＝2GH，∴， ∴，解得，． 当时，点P，H，G重合于点B，舍去． ∴．∴此时点P的坐标为． 2°当时，点G在PH的反向延长线上，如图②,PH＝2GH不成立． 3°当时，点G在线段PH上，如图③． ∵PH＝2GH，∴， ∴，解得，（舍去）， ∴．此时点P的坐标为． 综上所述可知，点P的坐标为或． ②如图④，令，得，，∴E，F，∴E F＝2． ∴． ∵∽，∴， ∴ ． ∵, ∴当时，的最大值为 ． 2. 【试题】（2014年湖南益阳市第20题）如图，直线与轴、轴分别交于、，抛物线经过点、，并与轴交于另一点，其顶点为．求，的值； 抛物线的对称轴上有一点，使是以为底边的等腰三角形，求点的坐标． 在抛物线及其对称轴上分别取点、，使以为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．与轴、轴分别交于点、， ∴，. 又抛物线经过点，， ∴解得 即，的值分别为，. （2）设点的坐标为，对称轴交轴于点，过点作垂直于直线 于点. 在Rt中，， 在Rt中，. ∵，∴，∴. ∴点的坐标为. （3）当点在对称轴上时，与不垂直.所以应为正方形的对角线. 又对称轴是的中垂线，所以，点与顶点重合，点为点关于轴的对称点，其坐标为. 此时，，且，∴ 四边形为正方形. 在Rt中，，即正方形的边长为. 3. 【试题】（2014年广东梅州市第23题）已知抛物线y= x2－ x－3与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C。 （1）直接写出A、D、C三点的坐标； （2）在抛物线的对称轴上找一点M，使得MD+MC的值最小，并求出点M的坐标； （3）设点C关于抛物线对称的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 【解答】 （1）A(4，0) 、D(－2，0)、C(0，－3) （2）连接AC，与抛物线的对称轴交点M即为所求，直线AC的解析式y=－3， 对称轴是直线x==1，把x=1代入y=－3得y=－`∴M(1，－) （3）如下图，当点P与D重合时，四边形ADCB是梯形，此时点P为(－2，0)；直线AB的解析式为y=，过点C作CP1//AB，与抛物线交于点P1， 直线CP1的解析式为y=，联立y= x2－ x－3，可得P1(6，6) 4. 【试题】（2014年山东泰安二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）． （1）求二次函数的表达式； （2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值； （3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标． （1）由题设可知A（0，1），B（﹣3，）， 根据题意得：，解得：，则二次函数的解析式是：y=﹣﹣x+1；（2）设N（x，﹣x2﹣x+1），则M、P点的坐标分别是（x，﹣x+1），（x，0）． ∴MN=PN﹣PM=﹣x2﹣x+1﹣（﹣x+1）=﹣x2﹣x=﹣（x+）2+， 则当x=﹣时，MN的最大值为；（3）连接MN、BN、BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，由于BC∥MN，即MN=BC，且BC=MC， 即﹣x2﹣x=，且（﹣x+1）2+（x+3）2=，解得：x=1，故当N（﹣1，4）时，MN和NC互相垂直平分．如图，已知直线l的解析式为 x–1，抛物线＋bx＋2经过点A三点．（1）求抛物线的解析式及A点的坐标，并在图示坐标系中画出抛物线的大致图象；（2）已知点 P（x，y）为抛物线在第二象限部分上的一个动点，过点P作PE垂直x轴于点E, 延长PE与直线l交于点