2015葫芦岛市第一次调研考试数学参考答案(理)2015葫芦岛市第一次调研考试数学参考答案(理).doc

2015年葫芦岛市第一次模拟考试 数学试题(理科) 参考答案及评分标准 一.选择题:每小题5分,总计60分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B B C B A C B B A C A 二.填空题:每小题5分,总计20分. 13. 70 14. 、- 15. (-∞,-2) 16.①③④ 三.解答题: 17.(本小题满分12分) 解：（1）由a4+a8=22得：a6=11 又a3=5 ∴d=2, a1=1……………………2分 ∴an=2n-1 …………………………………………………………………………4分 Sn===n2 ………………………………………………………………6分 (2) bn===(-) 当n=1时，b1=(1-)=,原不等式成立；………………………………8分 当n≥2时， b1+b2+…+bn=(-+-+-+-+…+-+-+-) =(+--)(+)= ∴b1+b2+…+bn(n∈N*)………………………………………………12分 18．（本小题满分12分） (1)证明：∵AB⊥平面BEC，CE(平面BEC ∴AB⊥CE ∵BC为圆的直径 ∴BE⊥CE ∵BE(平面ABE，AB(平面ABE，BE∩AB=B ∴CE⊥平面ABE ∵BF(平面ABE ∴CE⊥BF 又BF⊥AE 且CE∩AE=E ∴BF⊥平面AEC AC(平面AEC ∴BF⊥AC （或由面面垂直的性质定理证明，请参照赋分）……………………6分 （2）设圆柱的底面半径为r,则圆柱的高为2r; V圆柱=(r2·2r=2(r3.VA-BEC=·BE·EC·2r=·BE·EC·r 由题意：==3( ∴BE·EC=2r2 又BE2+CE2=4r2 由此解得：BE=EC=r…………8分 法一： 分别以EB、EC所在直线为x轴、y轴,E为坐标原点 建立如图所示坐标系； 则E（0，0，0）、B（r，0，0）、C（0，r，0）、A（r，0，2r） =(0,0, 2r), =(-r,r,-2r), 设平面BAC的法向量为=(x1,y1,z1)，则由⊥，⊥得： ·=0且·=0 即：解得：,取y1=1得：=（1,1,0) 设平面CAE的法向量为=(x2,y2,z2)，则由⊥，⊥得：·=0且·=0 即：解得：取z2=1得： =（-,0,1) …………10分 ∴cos,===- 由图形可知：二面角B-AC-E为锐二面角 ∴二面角B-AC-E的余弦值为…………12分 法二：过F作FG⊥AC于G，连BG；由（1）知：BF⊥平面ACE ∴FG为BG在平面AEC内的射影，又FG⊥AC，AC(平面AEC ∴由三垂线定理得：BG⊥AC ∴∠FGB即为二面角B-AC-E的平面角……10分 在RT(ABC中易求得：BG=r, 在RT(ABC中易求得：BF=r ∴在RT(BFG中:FG==r ∴cos∠FGB=== ∴二面角B-AC-E的余弦值为………12分 19．（本小题满分12分） (1)设第i组的频率为Pi(i=1,2,…,8),由图可知：P1=×30=, P2=×30= ∴学习时间少于60分钟的频率为P1+P2= 由题意：n×=5 ∴n=100………2分 又P3=×30=, P5=×30=, P6=×30=, P7=×30=, P8=×30= ∴P4=1-(P1+P2+P3+P5+ P6+P7+ P8)= ∴第④组的高度为:h=×== 频率分布直方图如图： （注：未标明高度1/250扣1分）………4分 （2）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中， “走读生”有45人，利用时间不充分的有40人， 从而列联表如下： 将列联表中的数据代入公式计算，得 ……6分 K2===≈3.030 因为3.0303.841，所以没有理由认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关……8分 (3)由（1）知：第①组1人，第②组4人，第⑧组5，总计10人，则X的所有可能取值为0，1，2，3 P（X=i)= (i=0,1,2,3) ∴P（X=0)= ==,P（X=1)===, P（X=2)===, P（X=3)= ==…………………………………10分 ∴X的分布列为： X 0 1 2 3 P ∴EX=0×+1×+2×+3×==……………………12分 (或由超几何分布的期望计算公式EX=n×=3×=) 20.(本小题满分12分) 解：（1）∵e= ∴a2=3c2=3a2-3b2 ∴2a2=3b2 将x=-c代入椭圆方程得：y2=