22.第二十二章 混沌动力学22.第二十二章 混沌动力学.ppt

类似的分支可以不断地继续下去，每到分支点Kn会出现稳定的2n点周期。 各相邻分支点的间距 随着n的增大逐渐减小。 当n比较大的时候，稍微改变一下控制参数K的值，周期加倍会很快发生，直到 无穷长的周期，即非周期。 当K大于 ，昆虫数的长时间行为不再稳定到任何不动点或周期值上，它可以从小到大表现得很随机，这时我们说昆虫的演化进入了混沌状态。 1K3 3.4495K3.5441 3K3.4495 K3.5699 (1) 有序：混沌的产生条件是在远离平衡状态，在混沌的无序中还包含着更深层次的有序性； (2) 无序：混沌是一种有结构的无序，表面上看起来是杂乱无规则的混沌是有其内在规律性的。 3.3 混沌中的规律性 混沌的产生经历了一个从无序→有序→无序的过程，混沌与简单的无序（平衡态的均匀无序）是有本质差别的 3.3.1 各态历经 当演化处于混沌区后，由于它是无穷周期点，随着时间的演化，系统的状态几乎可分布于[0，1]的整个区间→各态历经。 两点规律： ① 当K从4减小时，昆虫数历经的区域逐步在缩小； ② 在混沌带内的某些部位，当K减小到 原来连成一片的混沌带一分为二，到 ……，这种行为与倍周期分支行为类似，所以称 时， 混沌带又二分 为四， 为混沌带倍周期逆分叉。 3.3.2 混沌带倍周期逆分叉 混沌区并不完全是无序的，它有着复杂的结构。通过对混沌区的仔细观察可以发现，在混沌区内还存在着一些大大小小的透明窗口，在这些窗口内，昆虫数的演化是周期性的。 在这些窗口，最大的周期窗口是周期3，它发生于 3.3.3 周期窗口 3.3.4 阵发混沌 当 ，时出现的3个不稳定不动点之间形成了三处狭窄“走廊”。 “走廊中的迭代很象在不动点附近徘徊，近乎周期运动。在不同走廊之间的跳跃，近乎混沌。因此，在整个过程中随机地夹杂了一些混沌阶段。 n（2n周期点） 分支点Kn 0 1 1 3 4.449509539 2 3.449487743 4.751324667 3 3.544090359 4.656349315 4 3.564407266 4.668241749 5 3.568759420 4.668741351 6 3.569691610 4.669144348 7 3.569891259 4.669059869 ┇ ┇ ┇ ∞ 3.569945672 4.669201609 3.4 Feigenbaum常数 3.4.1 倍周期分叉序列的收敛速率 设： 随着n的增大， 趋于一常数，在 一个确切的无理数上： 时，它固定 在 …… Logistic映射 指数映射： 正弦映射： 在这两个映射中观察到发生分叉的参数K都以 为收敛速率呈几何级数收敛。 研究结果表明， 与Logistic映射的细节无关，凡是满足如下条件的函数： 函数有一个“通有的”的极大值，即一个非零二阶导数的极大值，这样的函数称为单峰函数。 （1） 对所有通用的单峰映射是普通的； (2) 一旦在一个耗散动力学系统中发现倍周期分叉，那就应该发现该普通常数 。 (3) Feigenbaum常数 的发现揭示了一条普适于从倍周期分支到混沌的自然法则。 单峰映射 (必要条件) 倍周期分叉→混沌(充分条件) 3.4 Feigenbaum常数 3.4.2 标度变换因子 定义： （相似比） …… 也是一个普遍常数，称为Feigenbaum第二常数，也 称为标度变换因子。 附注： ① ?也是一个普通常数，其适用范围与 一致，即一切从倍周期分叉?混沌的过程。 ② ?实际上是倍周期分叉过程中所有结构的自相似比，与具体结构无关。 ③ 混沌且有无穷层次的嵌套结构。在这大大小小的复杂的自相似图案中，标度变换是普通的。（自相似） ④ 混沌行为表现出无序中包含着有序，有序中又包含着无序，如果提高观察的分辨率，这样的特征还会在更小的尺度上重复出现，所以说混沌具有更复杂的结构。 混沌现象与随机现象的根本区别 Lyapunov指数：指相空间中邻近轨道发散或收敛的平均指数率，其反映了系统性态对初值的敏感程度。 3.5 Lyapunov指数与奇怪吸引子 对于m维非线性微分方程组(m维相空间)： 定义其lyapunov指数为： 由于 的λ，因此共有m个λ，它们按从大到小的次序排列为 有m个分量，而对每个分量都可求出 一个相应 这m个实数称为lyapunov指数谱。 Lyapunov指数的物理意义： ① 如果