4.2 矩阵的相似对角化4.2 矩阵的相似对角化.ppt

* §4.2 矩阵的相似对角化 求矩阵 的特征值和特征向量. 课前练习： 相似与对角化的概念 定义： 设Ａ、Ｂ都是ｎ阶矩阵，若有可逆矩阵Ｐ，使 则称 Ａ与Ｂ相似． 记作： Ａ∽Ｂ． 性质： （1） 反身性： Ａ∽Ａ； （2） 对称性： Ａ∽Ｂ，则Ｂ∽Ａ； （3） 传递性： Ａ∽Ｂ，Ｂ∽Ｃ，则Ａ∽Ｃ； 定义： 若ｎ阶矩阵Ａ与对角矩阵相似，则称A能对角化， 简称为把方阵A对角化。 定理： 若ｎ阶矩阵Ａ与Ｂ相似，则： （2） （1） Ａ与Ｂ有相同的特征多项式和特征值． （3） 就是Ａ的ｎ个特征值． 则： 推论： 若ｎ阶矩阵Ａ与对角矩阵 相似， 可相似对角化的条件 思考:使得 的矩阵Ｐ如何求的呢？ 定理： ｎ阶矩阵Ａ能与对角矩阵Λ相似 ?Ａ有ｎ个线性无关的特征向量． 如： 特征值： 特征向量： 特征值： 特征向量： 推论： 如果ｎ阶矩阵Ａ有ｎ个不同的特征值， 则矩阵Ａ可相似对角化． 注： Ｐ中的列向量 的排列顺序要与 的顺序一致． （1） （2） 是 的基础解系中的解向量， 因 的取法不是唯一的， 故 因此Ｐ也是不唯一的． 应用示例1： *