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2.3 函数的奇偶性 教学目标 重点：函数奇偶性、周期性的应用 难点：判断奇偶性，求函数的周期 能力点：解决函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题 教育点：会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性，数形结合思想的应用 自主探究点：会判断、应用简单函数的周期性 考试点: 1.函数的奇偶性、周期性的应用是高考的重要考点； 2.常与函数的图象、单调性、对称性、零点等综合命题; 3.多以选择、填空题的形式出现，属中低档题目. 易错点：1.判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. 2.判断函数是奇函数，必须对定义域内的每一个，均有，而不能说存在，使.对于偶函数的判断以此类推. 易混点:分段函数奇偶性判定时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性. 拓展点: 从所给的解析式或函数关系中，要能从其结构特征探究发现其隐含的奇偶性、周期性，从而利用奇偶性、周期性将问题解决. 学法与教具 1.学法：探究法。 2.教具：多媒体，投影仪。 一、【知识结构】 二、【知识梳理】 1．函数奇偶性的定义 如果对于函数定义域内任意一个，都有______________，则称为奇函数；如果对于函数定义域内任意一个，都有____________，则称为偶函数．如果函数不具有上述性质，则不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则既是奇函数，又是偶函数。 2．奇偶函数的性质 (1) 为奇函数 ____； 为偶函数 . (2) 是偶函数的图象关于____轴对称；)是奇函数的图象关于_____对称． (3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有________的单调性． 3．函数的周期性 (1)定义：如果存在一个非零常数，使得对于函数定义域内的任意，都有＝________，则称为________函数，其中称作的周期．若存在一个最小的正数，则称它为的________________． (2)性质： ①也常常写作． ②如果是函数的周期，则也是的周期，即． ③若对于函数的定义域内任一个自变量的值都有或或 (是常数且)，则是以______为一个周期的周期函数． 三、【范例导航】 例1．函数奇偶性的判定 判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝(x＋1) ； (2)f(x)＝x(＋)； (3)f(x)＝log2(x＋)； (4)f(x)＝ 　【分析】判断函数奇偶性的方法． (1)定义法：用函数奇偶性的定义判断．(先看定义域是否关于原点对称)． (2)图象法：f(x)的图象关于原点对称，则f(x)为奇函数；f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)为偶函数． (3)基本函数法：把f(x)变形为g(x)与h(x)的和、差、积、商的形式，通过g(x)与h(x)的奇偶性判定出f(x)的奇偶性． 【解答】(1)定义域要求≥0且x≠－1，∴－1x≤1，∴f(x)定义域不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数． (2)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．∵f(－x)＝－x＝－x＝ ＝＝f(x)．∴f(x)是偶函数． (3)函数定义域为R.，∵f(－x)＝log2(－x＋)＝log2＝－log2(x＋)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数． (4)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．当x0时，－x0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)； 当x0时，－x0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)．∴对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f(－x)＝－f(x)．故f(x)为奇函数． 【点评】①正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：①定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；②f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式． ②奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)?f(－x)±f(x)＝0?＝±1(f(x)≠0)． 变式训练：判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝x2－x3； (2)f(x)＝＋； (3)f(x)＝. 【解答】　(1)函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2) f(x)既是奇函数又是偶函数． (3)由得，f(x)定义域为[－2,0)∪(0,2]．∴定义域关于原点对称，∵f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数． 例2函数单调性与奇偶性的综合应用 函数y＝f(x)(x≠0)是奇函数，且当x∈(0，＋∞)时是增函数，