6-3实对称矩阵的相似对角化6-3实对称矩阵的相似对角化.ppt

一、实对称矩阵特征值与特征向量的性质 二、正交矩阵及施密特正交化方法 * * §6.3 实对称矩阵的相似对角化 定理1　实对称矩阵的特征值为实数. 证明 于是有 两式相减，得 定理1的意义 证明 于是 推论 实对称矩阵属于不同特征值的特征向量是线性无关的。 定理3 实对称矩阵A的k重特征值必定对应k个线性无关的特征向量。 定义1 上式中A用其列向量 表示，即 1、正交矩阵的概念与性质 　　 为正交矩阵的充要条件是 的列向量都 是单位向量且两两正交． 结论 如果将A用行向量表示，则 可写为 则可得出如下结论 为正交矩阵的充要条件是 的行向量都 是单位向量且两两正交． 正交矩阵的n个行（列）向量构成n维向量空间的一个正交规范基。 例1 验证矩阵 是正交矩阵 解 由定义 可知Q为正交矩阵。 或者 由于Q的行（列）向量都是单位向量，且两两正交，故Q为正交矩阵。 2、施密特(Schmidt)正交化方法 定理5 设 是一组线性无关的向量，则可以找到一组正交的向量 使得向量组 与 等价。 证明 首先，令 即 从而求出 再令 及 再令 及 可求出 一般地，由 求出 的公式为 由以上公式的构成可知向量组 两两正交，且 都可由 线性表示，反之 也都可由 线性表示，所以,两向量组等价。 以上求等价正交向量组的方法称为施密特( Schmide )正交化方法。 将所求正交向量组单位化： 从而可以进一步得到与 等价的正交规范向量组 解 例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ， 使 为对角阵. (1)第一步 求 的特征值