7-医学信号处理现代谱估计7-医学信号处理现代谱估计.ppt

第七章功率谱估计的现代方法—— 现 代 谱 估 计 现代谱估计法的基本思想： 处理步骤： 1 确定或选择一个合适的模型—依赖于对所研究随机过程进行理论分析和实验研究； 2 根据观测数据估计模型参数—涉及各种算法的研究； 3 由模型参数计算功率谱。 关键 1、模型选择问题（AR， MA ，ARMA） 2、参数确定方法（导致产生了各种算法） 到底选择什么模型？三种模型之间关系如何？—Word分解定理 Wold分解定理：任何一个有限方差的平稳ARMA过程可以分为完全随机的部分和确定的部分。 推论：任何有限方差的ARMA或MA平稳过程可以用一个无限阶的AR模型表示；同样，任何ARMA或AR模型可以用一个无限阶的MA模型表示。因 此，如果在这三个模型中选了一个与信号不匹配的模型，利用高的阶数仍然可以得到对信号的好的逼近。 AR模型谱估计 Yule-Walker方程的求解 1、采用高斯消元法，解线性方程组常用方法，运算量数量级为p的三次方。 2、用Levinson-Durbin算法，Y-W方程的高效解法，即按阶次进行递推运算量数量级为p的二次方。 一、AR模型的稳定性具有下面性质： H(z)全部的极点在单位圆内 自相关矩阵正定 激励信号方差随阶次增加而递减 二、有关AR模型的阶的问题： 阶太低，功率谱平滑的太厉害，平滑后的谱分辨不出真实谱中的两个峰； 阶太高，可以提高谱估计的分辨率，但会出现许多虚假谱峰。 三、确定AR模型的阶的方法 — 一般的观察方法，简单而直观 不断增加阶数，观察预测误差功率，下降到最小时，对应的阶选为模型的阶； 不断增加阶数，观察各阶模型预测误差序列的周期图，最接近平坦时对应于最佳的阶； 1、FPE(最终预测误差） 此外，还有CAT等准则 。 N个符号组成信号系统传递消息，每个符号出现的概率为pi，接收到第i个符号的信息量为I(i)，消息中总的平均信息量为： 7.6.1 预测误差格型滤波器 后向预测误差 实验2 例题中增加周期图法和Bartlett法谱估计，然后将5种方法的功率谱估计画在图上，并分析比较。 对于长度为N的有限长序列，有下面一系列递推关系式。当p=1时： 于是有： 于是 其中 继续代入求得K3，b3(n)，e3(n)，…，以此类推。便可以由x(n)求得各阶Kp以及前向与后向误差及其各个akk。 Burg法估计AR(p)模型参数的具体步骤为： 1、确定初始条件： 2、按照公式 计算Kp。 3、按照公式 计算ep(n)和bp(n)。 4、计算均方误差： 5、p=p+1。 6、重复第2—5步，直至满足条件为止。 例5-2、设N=5的数据记录为x(0)=1,x(1)=2,x(2)=3,x(3)=4,x(4)=5,AR模型的阶次p=3,试用相关函数法确定AR参量及预测值 . 解：先由数据求自相关函数式： N为观测数据长度， 为拟合残差方差，随阶增加而减小，FPE的最小值对应的阶数为最后确定的阶。 四、确定AR模型的阶的方法—根据误差准则确定 2、Akaike（AIC)信息准则 AIC(i)= 最小所对应的阶。 i为模型的阶， 为模型误差，随着阶的增加而减小，而式中第二项随阶次增加而增加。 AIC定义式有一个最小值。 适用于AR模型。 通过实验发现：在将这些准则用于估计AR模型的阶，对于实际数据，所得到的谱估计结果常常无太大区别。 对于短数据，以上准则都不理想。 在实际应用中，应该参照实验结果对模型的阶加以适当调整。 §7.4 线性预测谱估计 假设{x(n)}是一个N阶AR过程，现在时刻{x(n)}的值 可以由过去N个时刻的取样值的加权来预测，加权系数为-ak，那么 N阶线性预测器：可看作用序列{x(n-N),x(n-N-1) , …… ,x(n-1)}激励一个冲击响应为-ak的线性时不变系统的输出值。 {x(n-N),x(n-N-1) , …… ,x(n-1)} -ak 预测误差为： 预测误差功率为： 确定系数ak的一个原则是使预测误差功率最小。根据这一原则推导出的预测器系数-ak与x(n)的自相关序列Rxx(m)之间的关系为： 将两个关系式写成矩阵展开式分别为： 将(1)和(2)两个关系式合并为一个式子： 将(3)写成矩阵展开形式为： 可以看出：N阶线性预测器的系数ak与AR模型中的AR系数相等，预测误差概率最小值Pmin与AR模型中的输入噪声方差 相等。所以，线性预测谱估计与AR谱估计是等效的。 熵—是信息量的一种量度，也是不确定性的一种量度。信息量与事件发生概率之间有类似于反比例的关系，信息量与概率之间存在对数关系。复合事件的信