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§2.2 崖高的估算 方法一 2.7雨中行走问题 假 设 与 建 模 1. 刹车距离 d 等于反应距离 d1 与制动距离 d2 之和 2. 反应距离 d1与车速 v成正比 3. 刹车时使用最大制动力F，F作功等于汽车动能的改变; F d2= m v2/2 F ? m t1为反应时间 且F与车的质量m成正比 反应时间 t1的经验估计值为0.75秒 参数估计 利用交通部门提供的一组实际数据拟合 k 模 型 最小二乘法 ? k=0.06 计算刹车距离、刹车时间 4.3 444.8 464（506） 117.3 80 3.6 347.1 343（372） 102.7 70 3.0 261.4 248（268） 88.0 60 2.5 187.8 173（186） 73.3 50 2.1 126.2 116（124） 58.7 40 1.8 76.6 73.5（78） 44.0 30 1.5 39.0 42（44） 29.3 20 刹车时间 （秒） 计算刹车距离（英尺） 实际刹车距离（英尺） 车速 (英里/小时) (英尺/秒) “2秒准则”应修正为 “t 秒准则” 模 型 4.3 80 3.6 70 3.0 60 2.5 50 2.1 40 1.8 30 1.5 20 刹车时间 （秒） 车速 (英里/小时) 4 3 2 1 t（秒） 60~80 40~60 10~40 0~10 车速（英里/小时） 问题 甲有物品X, 乙有物品Y, 双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。 y x p . 用x,y分别表示甲(乙)占有X,Y的数量。设交换前甲占有X的数量为x0, 乙占有Y的数量为y0, 作图： 若不考虑双方对X,Y的偏爱，则矩形内任一点 p(x,y) 都是一种交换方案：甲占有(x,y) ，乙占有(x0 -x, y0 -y) x y yo 0 xo ? ? 2.6 实物交换 x y yo y1 y2 0 x1 x2 xo p1 p2 . . 甲的无差别曲线 分析与建模 如果甲占有(x1,y1)与占有(x2,y2)具有同样的满意程度，即p1, p2对甲是无差别的， M N 将所有与p1, p2无差别的点连接起来，得到一条无差别曲线MN, 线上各点的满意度相同, 线的形状反映对X,Y的偏爱程度， N1 M1 p3(x3,y3) . 比MN各点满意度更高的点如p3，在另一条无差别曲线M1N1上。于是形成一族无差别曲线（无数条）。 p1 . p2 . c1? y 0 x f(x,y)=c1 无差别曲线族的性质： 单调减(x增加, y减小) 下凸(凸向原点) 互不相交 在p1点占有x少、y多，宁愿以较多的? y换取较少的? x; 在p2点占有y少、x多，就要以较多的? x换取较少的? y。 甲的无差别曲线族记作 f(x,y)=c1 c1~满意度 （f ~等满意度曲线） x y O g(x,y)=c2 c2? 乙的无差别曲线族 g(x,y)=c2具有相同性质（形状可以不同） 双方的交换路径 x y yo O xo f=c1 O‘ x’ y’ g=c2 乙的无差别曲线族 g=c2 (坐标系x’O’y’, 且反向） 甲的无差别曲线族 f=c1 A B p P’ 双方满意的交换方案必在AB（交换路径）上 因为在AB外的任一点p’, (双方)满意度低于AB上的点p 两族曲线切点连线记作AB A B p 交换方案的进一步确定 交换方案 ~ 交换后甲的占有量 (x,y) 0?x?x0, 0?y?y0矩形内任一点 交换路径AB 双方的无差别曲线族 等价交换原则 X,Y用货币衡量其价值，设交换前x0,y0价值相同，则等价交换原则下交换路径为 C D (x0,0), (0,y0) 两点的连线CD AB与CD的交点p 设X单价a, Y单价b, 则等价交换下ax+by=s (s=ax0=by0) y yo 0 xo . . x 一个雨天，你有件急事需要从家里到学校去，学校离家不远，仅一公里，况且事情紧急，你来不及花时间去翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校。假设刚刚出发雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，你将被大雨淋湿。一个似乎很简单的事情是你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间。但如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略。试建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。 1 建模准备 建模目标：在给定的降雨条件下，设计一个雨中行走的策略，使得你被雨水淋湿的程度最小。 主要因素： 淋雨量， 降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度 2）降雨大小用降雨强度 厘米/时来描述，降雨强度指单位时间平面上的降下水的厚度。在这里可视其为一常量。 3）风