Jordan标准型Jordan标准型.ppt

第3章：Jordan标准形介绍 Jordan Canonical Form 第3章：Jordan标准形介绍 Problem： 矩阵A到底和一个多简单的矩阵相似？ Solution： 理想情况下：A为对角形 并非所有的矩阵都可以对角化 ? Jordan标准形理论。 Jordan标准形的应用 第3章：Jordan标准形介绍 本章的主要结论： Theorem 任何复数域上的n阶矩阵A都和一个Jordan标准形相似 Jordan 标准形 Jordan 块 2.1 求矩阵的Jordan标准形的道路之一 利用如下的流程图 A(λ)= λE-A 行列式因子 不变因子 初级因子 Jordan块 J A 1. 行列式因子: Step1: 计算所有的k阶子式； Step2: 求所有的k阶子式的首一最大公因式即为Dn 高阶行列式因子可以整除低阶的行列式因子 2. 不变因子: 高阶不变因子可以整除低阶的不变因子 3. 初级因子: 对次数非零的不变因子进行因式分解，所得的一次因式的方幂即为初级因子 Remark: 来自于不同不变因子的一次因式不能进行合并！ 4. 初级因子和Jordan块的关系:一一对应 初级因子 Jordan block 2.2 求矩阵的Jordan标准形的道路之二 利用如下的流程图 A(λ)= λ E-A 不变因子 初级因子 Jordan块 J A Smith标准形 1. ?矩阵及其初等变换 ?矩阵的初等变换： 交换两行（列）； 某行（列）乘非零数； 某行（列）的多项式p(?)倍加到另行（列） 和矩阵的初等变换差不多！ 2. ?矩阵的Smith标准形 Problem: ?矩阵经初等变换可以变成什么样的矩阵？ Answer: Smith标准形 Theorem: Smith 标准形 Ex1 求下面矩阵的Smith标准形 3. Smith标准形和不变因子 为A的不变因子； 一切的理论依据： @ Theorem(P071, 定理3.2.5, 定理3.2.6) 相似的矩阵有相同的行列式因子 Ex2: (P071, 例3.2.6)： 求Jordan标准形的第二种方法 2.3 求相似变换的矩阵P Problem:如何求可逆阵P,使得PAP－1=J? Solution:待定系数法。 Example: 求可逆阵P,使得PAP－1=J §2.4 最小多项式 (minimal polynomials) Def: 矩阵多项式 例 设 1 Cayley-Hamilton Theorem (1858) 设A为n阶复方阵，f (λ)= |λ E-A|，则f(A)=0 Application：对矩阵多项式进行降次 Example: P074 例3.3.1 哈密顿，W．R．(Hamilton，William Rowan,1805-1865)爱尔兰人． 哈密顿自幼聪明，被称为神童．他3岁英语已读得非常好，4岁时是不错的地理学者；5岁时能阅读和翻译拉丁语、希腊语和希伯来语，喜欢用希腊语朗诵荷马史诗；8岁掌握了意大利语和法院，觉得英语过于平庸，用拉丁文的六韵步诗体；10岁不到开始学习阿拉伯语、梵语、波斯语；同时学习马来语、孟加拉语、古叙利亚语...；他即将学习汉语，但是太难搞到书。14岁时，因在都柏林欢迎波斯大使宴会上用波斯语与大使交谈而出尽风头． 主要贡献：力学、数学、光学． 2 矩阵的零化多项式 (Annihilating polynomials of Matrices) 问题：A?Cn×n ， A?0，是否存在非零多项式g（?），使 得 g( A )=0？ Definition(零化多项式) 如果 g(A) = 0，则g(?)被称为矩阵A的零化多项式。 Cayley-Hamilton 定理保证：矩阵的零化多项式存在！ 3 最小多项式 Definition（最小多项式） mA（ ? ）是最小多项式 mA（ A） =0 mA（ ? ）在化零多项式中次数最低。 mA（ ? ）最高次项系数是1。 ?mA（ ? ）整除任何化零多项式 3 最小多项式 求解最小多项式方法一：最小多项式的结构 P075 定理3.3.4 最小多项式与特征多项式有相同的根，区别在于最小多项式的根的重数比后者要低 f（ ? ）=|? E-A|= mA（ ? ）= 例1