MATALB8.5基础与实践教程(第2版)第5章 线性代数运算MATALB8.5基础与实践教程(第2版)第5章 线性代数运算.ppt

5.1常用矩阵的生成 5.2矩阵的基本运算 5.3符号矩阵的基本运算 5.4矩阵分析 5.4.1矩阵的共轭与逆 5.4.2向量和矩阵的范数 5.4.3矩阵的条件数 5.5矩阵的秩与初等变换 5.6矩阵的分解 5.6.1对称正定矩阵的Cholesky分解 5.6.2矩阵的LU分解 5.6.3矩阵的QR分解 5.6.4矩阵的奇异值分解 5.6.5Schur分解 5.6.6Hessenberg分解 5.6.7矩阵的特征值分解 5.7求解线性方程组 5.7.1齐次线性方程组的求解 5.7.2非齐次线性方程组的求解 5.8向量的内积与正交化 5.8.1向量的内积与正交 5.8.2矩阵的正交化 5.9特征多项式及相似对角化 5.9.1特征多项式 5.9.2实对称阵的相似与对角化 5.10二次型的标准化及正定性 5.10.1二次型的标准化 5.10.2二次型的正定性判别 第5章 线性代数运算 5.1常用矩阵的生成 除了表1-5列出的常用矩阵外，MATLAB还提供了一些用于线性代数分析的常用矩阵和特殊矩阵生成的函数命令。表5-1给出了常用矩阵生成的函数命令, 表5-2给出了常用特殊矩阵生成的函数命令。 5.2 矩阵的基本运算 矩阵的基本运算除了前面已介绍的算数运算中的相关内容（如章节1.3），还包括线性代数中对矩阵进行处理与运算的专用函数命令。如矩阵的行列式计算，矩阵的逆和伪逆，矩阵的秩，矩阵的范数与条件数，特征向量与特征值，矩阵分解等。矩阵的基本命令格式如表5-3所示。 MATLAB提供的符号矩阵工具，可用于线性代数的求解问题。以下举例说明。 【例5-5】 符号矩阵的四则运算与简化。 clear; A=sym([ab,c;e,34]) %生成符号矩阵A B=sym([cos(t),sin(t);-sin(t),cos(t)]) %生成符号函数矩阵B 5.3 符号矩阵的基本运算 5.4矩阵的分析 用于矩阵分析的常用函数命令格式及说明如表5-4所示。 【例5-7】 判断矩阵 是否对称，并显示出结果。 5.4.1矩阵的共轭与逆 5.4.2向量和矩阵的范数 范数是距离的概念在矩阵中的推广，其本质是描述线性空间元素及元素之间距离的长度或大小。∞范数。 5.4.3矩阵的条件数 MATLAB提供的条件数函数的常用格式如表5-6所示。 5.5矩阵的秩与初等变换 矩阵的秩与初等变换的基本命令格式如表5-7所示。 5.6矩阵的分解 在求解线性方程组、矩阵特征值与特征向量的过程中都要用到矩阵的分解。MATLAB提供了许多常用的矩阵分解函数命令。这些函数命令在线性代数和矩阵理论研究中非常有用。 常用的矩阵分解函数命令见表5-8。 5.6.1对称正定矩阵的Cholesky分解 若矩阵A是对称正定的,则A可进行Cholesky分解,即A=RR，其中R为上三角矩阵。MATLAB的命令格式为： R=chol(A) 若矩阵A是对称正定的, 则可以返回一个上三角矩阵R。若矩阵A不是对称正定的,则返回出错误信息。即可由结果判断A的对称正定性。命令格式为： [R,p]=chol(A) 若矩阵A是对称正定的, 则可以返回一个上三角矩阵R和p=0; 若矩阵A不是对称正定的, 则p为正整数(不返回出错误信息); 当A满秩时, R的阶为q=p-1的上三角阵, 且R*R=A(1:q,1:q)。 另外，可由p值判断A的对称正定性。 5.6.2矩阵的LU分解 矩阵的LU分解也称为三角分解，L为下三角矩阵，U为上三角矩阵。当L为单位下三角阵时，称为Doolittle分解；U为上三角阵时，称为Crout分解。 MATLAB对矩阵的LU分解的命令格式为： [L,U]=lu(A) 分解结果满足L*U=A。 L可能为下三角阵的变换形式。 [L,U,P]=lu(A) P为单位矩阵的行变换阵，满足P*A=L*U。 5.6.3矩阵的QR分解 对于实非奇异矩阵A, 都可分解为正交(酉)矩阵Q和上三角矩阵R的乘积, 即A=Q*R，称为QR分解或正交分解。可以用函数命令qr(A)对A进行QR分解，格式如下： [Q,R]= qr(A) R为上三角阵, Q为正交阵, 满足 A=Q*R [Q,R,E]=qr(A) R为对角元素的绝对值递减的上三角阵, Q为正交阵, E为 单位阵的变换阵, 满足A*E=Q*R 5.6.4矩阵的奇异值分解 奇异值分解的