MATLAB与差分方程MATLAB与差分方程.ppt

* MATLAB与差分方程 西南交通大学数学建模 差分方程 ~ 离散时段上描述变化过程的数学模型 一年期存款年利率为r，存入M， 记第k年本息为xk n年后本息为 污水处理厂每天将污水浓度降低比例q, 记第k天的污水浓度为ck , 离散动态过程（系统），实际的变化可以是连续的 天后污水浓度降低一半 一阶线性常系数差分方程 高阶线性常系数差分方程 线性常系数差分方程组 建立离散动态过程的数学模型; 用MATLAB计算数值解; 作理论分析(平衡点及其稳定性). 差分方程 例1 濒危物种(Florida 沙丘鹤)的自然演变 和人工孵化 一阶线性常系数差分方程 在较好自然环境下，年平均增长率为1.94% 在中等自然环境下，年平均增长率为-3.24% 在较差自然环境下，年平均增长率为-3.82% 如果在某自然保护区内开始有100只鹤，建立描述其数量变化规律的模型，并作数值计算. 生态学家估计 如果每年人工孵化5只鹤放入该保护区， 在中等自然环境下鹤的数量将如何变化? 模型及其求解 例1 濒危物种(Florida 沙丘鹤)的自然演变 和人工孵化 记第k年沙丘鹤的数量为xk， 自然环境下年平均增长率为r 设每年人工孵化的数量为b， 结果分析 例 濒危物种(Florida 沙丘鹤)的自然演变 和人工孵化 时间充分长后(k→∞)沙丘鹤数量的变化趋势 a1(r0)时xk→∞, a1(r0)时xk→0 在中等及较差的自然环境下沙丘鹤将濒于灭绝。 人工孵化条件下 a1(r0)时xk→x=b/(1-a) x=5/0.0324=154.32 自然环境下 一阶线性常系数差分方程的平衡点及其稳定性 差分方程的一般形式 差分方程的平衡点 ~代数方程 x=ax+b 的根 x=b/(1-a) 差分方程的解 c= x0-b/(1-a)由初始值x0 和a、b确定 若k→∞时xk→x, 平衡点x稳定, 否则平衡点x不稳定 平衡点稳定的充要条件是 ?a ?1 高阶线性常系数差分方程的平衡点及其稳定性 ?1, ?2, …?n c1, …,c n由初始值x1, …,x n确定 特征方程 特征根 平衡点 差分方程的解 平衡点稳定的条件: 所有特征根的模小于1 高阶线性常系数差分方程 例 一年生植物的繁殖 一年生植物春季发芽，夏天开花，秋季产种。 没有腐烂、风干、被人为掠去的那些种子可以活过冬天，其中的一部分能在第二年春季发芽，然后开花、产种，其中的另一部分虽未能发芽，但如又能活过一个冬天，则其中一部分可在第三年春季发芽，然后开花、产种，如此继续。 一年生植物只能活一年，且近似地认为，种子最多可以活过两个冬天。 建立数学模型研究植物数量的变化规律， 及它能够一直繁殖下去的条件. 模型及其求解 例 一年生植物的繁殖 设一棵植物平均产种数为c, 种子能够活过冬天的比例为b, 活过冬天的那些种子在来年春季发芽的比例为a1，未能发芽的那些种子又活过一个冬天的比例仍为b, 在下一年春季发芽的比例为a2。 xk~第k年的植物数量 设今年种下(并成活)的数量为x0 记 p= -a1bc, q= -a2b(1-a1) bc 寻找形如xk=?k的解 设c=10， a1=0.5，a2=0.25，b=0.18, 0.19, 0.20，x0=100 模型及其求解 例 一年生植物的繁殖 特征方程 特征根 差分方程 常数c1, c2由x0, x1确定 差分方程的解 ??1, 2?1时xk?0 (k??) ??1, 2? 1时xk?? (k??) 植物能够一直繁殖下去的条件为b0.191 线性常系数差分方程组 例 汽车租赁公司的运营 汽车租赁公司在3个相邻的城市运营，在一个城市租赁的汽车可以在任意一个城市归还. 在A市租赁在A, B, C市归还的比例分别为0.6, 0.3, 0.1 在B市租赁在A, B, C市归还的比例分别为0.2, 0.7, 0.1 在C市租赁在A, B, C市归还的比例分别为0.1, 0.3, 0.6 公司开业时将600辆汽车平均分配到3个城市， 建立运营中汽车数量在3个城市间转移的模型， 讨论时间充分长以后的变化趋势. 例 汽车租赁公司的运营 模型及其求解 0.1 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 0.7 0.6 0.6 A B C x1(k), x2(k), x3(k)~第k个租赁期末公司在A, B, C市的汽车数量 x(k)=[x1(k), x2(k), x3(k)]T 120 120 120 121 121