三非线性方程..doc

第三章 非线性方程 在科学研究和工程实践中常常会遇到非线性方程或非线性方程组的问题。例如解方程，。非线性方程求解在工程中有重要应用，例如草图中的几何约束系统可以转化为方程组： 几何约束系统 一般记非线性方程为，f（x）是超越函数或高次多项式。非线性方程组的一般形式是:。方程的解亦称方程的根或函数的零点。根可能是实数或复数。若则称为单根；若而，则称为k重根。常见的求解问题有两种： (1) 要求定出在给定范围内的某个解。 (2) 要求定出在给定范围内的全部解。 3．1 代数方程求根 总结： 1.利用求根公式进行求解，由于要进行多次平方根、立方根的求解，可造成相当大的误差。所以公式解法并不实用。 2．非线性问题，除少数情况外，一般不能不利用公式求解。一元五次方程没有一般的求根公式。 3．一般采用某种迭代解法。即构造出一近似值序列逼近真解。 解非线性方程和方程组有很大区别。方程组要难得多。主要的区别在于一维情形可以找到一个根的范围，然后缩小，最终找到根。而多维情况则很难确定根的存在。 作业：用c语言根据求根公式实现一元三次方程求根算法，并用随机生成的100个实例验证求解的精度，完成算法性能的总结报告。最后交一份word文档。 3．2 二分法 定理：对于连续函数，如果在和处异号：，则在内至少有一个根。 二分法的基本思想是将区间[a,b]逐步二等分，使得每次缩小的区间中始终有f(x)的根x*，区间套：(a0, b0)(a1, b1)…(ak, bk)…，(bk-ak)/2=(b-a)/2k ,x*在区间[ak,bk]内。令xk=(ak+bk)/2,于是|x*- xk| (bk-ak)/2=(b-a)/2k。也就是说当k充分大后，xk收敛到x*。令(b-a)/2ke,则可以推出k。 ---------------------------------------------------------- 算法 输入：函数f(x),区间[a,b], ，容差e,最大迭代次数MAXIT 输出：根x*。 步骤： for( i = 0 ; i MAXIT ; i++ ) { x = a+(b-a)/2 ; 如果f(x)=0或(b-a)/2e,那么输出x； 如果f(a)*f(x)0那么 a=x ; 否则 b=x ; } ---------------------------------------------------------- 特点： 收敛速度慢，收敛速度与以1/2为公比的等比级数相同，没有充分利用函数值， 只要求函数连续就行， 只能求一个解， 缺点是不能求复根， 一般为其它快速方法提供初值。 sin(1/x) 区间的确定。可以用等分区间法估计区间[a,b]。在f(x)的连续区间[a,b]内，选择一系列的x值x1,x2,x3,…,xn，观察f(x)在这些点处的函数值的符号变化情况，当出现两个相邻点上的函数值异号时，根据根的存在定理，此小区间上至少有一个实根。 例 确定的有根区间。设从x = 0出发，取h = 0.5为步长向右进行根的扫描，列表记录各个结点上函数值的符号，我们发现，在区间（1, 1.5）内必有实根，因此可取x0 = 1或x0 = 1.5作为根的初始近似值。在具体运用上述方法时，步长的选择是个关键。若步长h足够小，就可以求得任意精度的根的近似值；但h过小，在区间长度大时，会使计算量增大，h过大，又可能出现漏根的现象。因此，这种根的隔离法，只适用于求根的初始近似。 x 0 0.5 1.0 1.5 f (x) 的符号 － － － ＋ 例 求方程，要求准确到小数点后第2位。 k ak bk xk f (xk) 0 1 1.5 1.25 - 1 1.25 1.5 1.375 + 2 1.25 1.375 1.3125 - 3 1.3125 1.375 1.3438 + 4 1.3125 1.3438 1.3281 + 5 1.3125 1.3281 1.3203 - 6 1.3203 1.3281 1.3242 - 例 求函数f(x)=x3-3x2+4x-1=0的有根区间。 例 求函数的有根区间。 3.3 定点迭代法 迭代法是求方程近似根的基本方法。定点迭代法的思想是：将方程f (x) = 0化为方程，构成。给定初值x0，可算得x1 = j (x0)，x2 =j (x1)，…。我们称{xk}为迭代序列，称j (x)为迭代函数。如果{ }收敛于x*，则x*就是方程的解。迭代格式不唯一，也不总是收敛的。 例 求方程的一个根。解：因为f (0) 0，f (1) 0，在[0, 1]中必有根。将原方程改为，。由此得迭代格式，取初始值x0 = 1，可逐次算得x1 = 0.4771，x