上海交通大学大学物理12导体电学..doc

习题12 12-1．一半径为米的孤立导体球，已知其电势为(以无穷远为零电势)，计算球表面的面电荷密度。 解：由于导体球是一个等势体，导体电荷分布在球表面，∴电势为：， 则：。 12-2．两个相距很远的导体球，半径分别为，，都带有的电量，如果用一导线将两球连接起来，求最终每个球上的电量。 解：半径分别为的电量为，电量为， 由题意，有：┄①，┄②， ①②联立，有：，。 12-3．有一外半径为，内半径的金属球壳，在壳内有一半径为的金属球，球壳和内球均带电量，求球心的电势． 解：由高斯定理，可求出场强分布： ∴ 。 12-4．一电量为的点电荷位于导体球壳中心，壳的内外半径分别为、．求球壳内外和球壳上场强和电势的分布，并画出和曲线. 解：由高斯定理，可求出场强分布： ∴电势的分布为： 当时， ； 当时，； 当时，。 12-5．半径，带电量的金属球，被一同心导体球壳包围，球壳内半径，外半径，带电量。试求距球心r处的P点的场强与电势。（1）（2）（3）。 解：由高斯定理，可求出场强分布： ∴电势的分布为： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴（1），适用于情况，有： ，； （2），适用于情况，有： ，； （3），适用于情况，有： ，。 12-6．两块带有异号电荷的金属板和，相距，两板面积都是，电量分别为，板接地，略去边缘效应，求：（1）板的电势；（2）间离板处的电势。 解：（1）由有：， 则：，而， ∴， 离板处的电势： 12-7．平板电容器极板间的距离为d，保持极板上的电荷不变，忽略边缘效应。若插入厚度为t(td)的金属板，求无金属板时和插入金属板后极板间电势差的比；如果保持两极板的电压不变，求无金属板时和插入金属板后极板上的电荷的比。 解：（1）设极板带电量为，面电荷密度为。 无金属板时电势差为：， 有金属板时电势差为：， 电势差比为：； （2）设无金属板时极板带电量为，面电荷密度为， 有金属板时极板带电量为，面电荷密度为。 由于，有，即 ∴。 解法二： 无金属板时的电容为：，有金属板时的电容为：。那么： （1）当极板电荷保持不变时，利用知：； （2）当极板电压保持不变时，利用知：。 12-8．实验表明，在靠近地面处有相当强的电场垂直于地面向下，大小约为.在离地面的高空的场强也是垂直向下，大小约为. （1）试估算地面上的面电荷密度(设地面为无限大导体平面)； （2）计算从地面到高空的空气中的平均电荷密度． 解：（1）因为地面可看成无穷大导体平面，地面上方的面电荷密度可用考察，选竖直向上为正向，考虑到靠近地面处场强为，所以： ； （2）如图，由高斯定理，有： ，则：， 得：。 12-9．同轴传输线是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属圆柱(内)和圆筒(外)构成，设内圆柱半径为，电势为，外圆筒的内半径为，电势为.求其离轴为处()的电势。 解：∵处电场强度为：， ∴内外圆柱间电势差为： 则： 同理，处的电势为：（*） ∴。 【注：上式也可以变形为：，与书后答案相同，或将（*）式用：计算，结果如上】 12-10．半径分别为a和b的两个金属球，它们的间距比本身线度大得多，今用一细导线将两者相连接，并给系统带上电荷Q，求： （1）每个求上分配到的电荷是多少？（2）按电容定义式，计算此系统的电容。 解：（1）首先考虑a和b的两个金属球为孤立导体，由于有细导线相连，两球电势相等：┄①，再由系统电荷为Q，有：┄② 两式联立得：，； （2）根据电容的定义：（或），将（1）结论代入， 有：。 12-11．图示一球形电容器，在外球壳的半径及内外导体间的电势差维持恒定的条件下，内球半径为多大时才能使内球表面附近的电场强度最小？求这个最小电场强度的大小。 解：由高斯定理可得球形电容器空间内的场强为：， 而电势差：， ∴，那么，场强表达式可写为：。 因为要考察内球表面附近的场强，可令，有：， 将看成自变量，若有时，出现极值，那么： 得：，此时：。 12-12．一空气平板电容器，极板的面积都是，极板间距离为．接上电源后，板电势，板电势．现将一带有电荷、面积也是而厚度可忽略的导体片平行插在两极板的中间位置，如图所示，试求导体片的电势。 解：由静电平衡，A内场强为0，则 由题意，， 而：， 联立上述方程，则：，。 导体片的电势：， ∴。 12-13．两金属球的半径之比为1∶4，带等量的同号电荷，当两者的距离远大于两球半径时，有一定的电势能；若将两球接触一下再移回原处，则电势能变为原来的多少倍？ 解：（1）设小球，大球，两球各自带有电量为，有： 接触之前的电势能：； （2）接触之后两球电势相等电荷重新分布，设小球带电为，大金属球带电为， 有：┄①和┄②，①②联立解得：，。 那么，电势能为：。 12-14.