与圆有关的阴影面积的计算..doc

辅导材料:与圆有关的阴影面积的计算 准备阶段: 1.圆的面积公式: .其中为圆的半径. 2.半圆的面积公式: . 3.扇形的面积公式: .其中为扇形的半径,为扇形的半径. 4.扇形的面积公式（另）: .其中为扇形的半径,为扇形的弧长. 证明: ∵, ∴. 5.关于旋转: （1）复习旋转的性质. （2）会画出一个图形旋转后的图形. （3）旋转的作用: 通过旋转,有时候我们可以把分散的几何条件集中起来,使题目呈现出整体上的特点. 该作用也常用于与圆有关的阴影面积的计算. 6.重点介绍: 转化思想 在解决数学问题时,把复杂问题简单化,把一般问题特殊化,把抽象问题具体化等的思想方法,叫做转化思想. 7.怎样求与圆有关的阴影的面积? （1）利用圆、半圆以及扇形的面积计算公式. （2）利用整体与部分之间的关系. （3）采用整体思想 求不规则图形的面积,一般将其转化为规则图形的和差来解决,具体可以通过平移、旋转或割补的形式进行转化. 实战阶段: ★1.（2015.河南）如图（1）所示,在扇形AOB中,∠AOB=90°,点C为OA的中点,CE⊥OA交弧AB于点E.以点O为圆心,OC的长为半径作弧CD交OB于点D.若OA=2,则阴影部分的面积为__________. 解析: 图（1）中阴影所在图形为不规则图形,可以利用整体与部分之间的关系的方法求解,即采用整体和差的方法. 解:连结OE. ∴OA=OB=OE ∵CE⊥OA ∴△COE为直角三角形 ∵点C为OA的中点 ∴ ∴在Rt△COE中, ∠CEO=30° ∴∠EOC=60° ∵∠AOB=90° ∴∠BOE=30° 在Rt△COE中,由勾股定理得: ★2.（2015.贵州遵义）如图（2）所示,在圆心角为90°的扇形OAB中,半径OA=2 cm,C为弧AB的中点,D、E分别是OA、OB的中点,则图中阴影部分的面积是__________. 解:连结OC,并作CM⊥OA于点M. ∵点C为弧AB的中点 ∠AOB=90° ∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=45° ∴△COM为等腰直角三角形 ∴OM=CM ∵OC=2cm ∴CM=OCcm ∵D、E分别是OA、OB的中点 ∴OD=OE=1 cm ∴DM=OM－cm cm2. 注意: 若题目对结果无特殊要求,则结果保留,不取具体值. ★3.(2015.开封二模)如图（3）所示,在△ABC中,CA=CB,∠ACB=90°,AB=2.点D为AB的中点,以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF,点C恰好在弧EF上,则图中阴影部分的面积为_____ __________. 解析: 本题问题的解决要用到三角形全等的知识,请复习: （1）三角形全等的判定定理有哪些? （2）全等三角形具有怎样的性质? 对于第二个问题,全等三角形的面积相等,我们可以借助该性质将三角形的面积等量转化. 解:连结CD.设DE与AC交于点M,DF与BC交于点N. ∵∠ACB=90° ∴∠CDE＋∠=90° ∵CA=CB,点D为AB的中点 ∴CD⊥AB（等腰三角形“三线合一”） ∴∠CDE＋∠=90° ∴∠1=∠2 ∴∠DCN=ACB=45° ∴∠DAM=∠DCN ∵∠ACB=90° ∴ ∴DE=CD=1 在△ADM和△CDN中 ∵ ∴△ADM≌△CDN(ASA) ∴S△ADM=S△CDN ∵S四边形DMCN=S△CDM+S△DCN S△ACD=S△CDM+S△ADM ∴S四边形DMCN= S△ACD ∴ 在求扇形的面积时确定圆心角的度数很重要 大多数扇形的圆心角题目会直接给出,但有时却需要我们自己求解.见第★5题. ★4.（2015.洛阳一模）如图（4）所示,在扇形OAB中,∠AOB=90°,半径OA=6.将扇形AOB沿过点B的直线折叠.点O恰好落在弧AB上点D处,折痕交OA于点C,则图中阴影部分的面积为__________. 解析: 本题,,题目所给条件不难求出扇形OAB的面积,但△BOC的面积不易求得.如果连结OD,那么OB=OD,再根据对折,得OB=BD,从而OB=OD=BD,即△BOD为等边三角形.至此,问题便很容易解决. 解: 连结OD. ∴OB=OD ∵△BOC≌△BDC（由翻折可得） ∴OB=BD,∠OBC=∠DBC ∴OB=OD=BD ∴△BOD为等边三角形 ∴∠OBD=60° ∴∠OBC=∠DBC=30° 在Rt△BOC中,∵∠OBC=30° ∴ ∴ ∴OC= ∴ ★5.（2015.焦作一模）如图（5）所示,在矩形ABCD中,AB=,AD=1,把该矩形绕点A顺时针旋转得到矩形AB′C′D′,点C′落在AB的延长线上,则图中阴影部分的面积是__