专升本资料3(一元函数积分学)..doc

四川省普通高等学校“专升本”选拔 《高等数学》考试大纲（理工类） 总体要求 考生应理解或了解《高等数学》中函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程以及《线性代数》的行列式、矩阵、向量、方程组的基本概念与基本理论；掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具备一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确、简捷地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。 本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次；对方法和运算分为“会”、“掌握”、“熟练掌握”三人层次。 考试用时：120分钟 考试范围及要求 一 函数、极限和连续 二 一元函数微分学 三 一元函数积分学 （一）不定积分 （成都理工大学13：理文科—1个选3分；） （成都理工大学14：理文科—1个选3分；） （攀枝花学院13：理科——选择3分、解答两个12分；文科——选择3分、解答一个5分；） 1. 理解原函数和不定积分的概念，掌握不定积分的性质，了解原函数的存在定理。 （1） 是的一个原函数 是的一个原函数 （2） 不定积分的基本性质 ① ， ② ， ③ ， ④ ． 例1 （攀枝花学院：理科——选择3分）设是的一个原函数，则 . A、 B、 C、 D、 例2 （攀枝花学院：文科——选择3分）1、若为连续函数，则等于. （A） （B） （C） （D） 2. 熟练掌握基本的不定积分公式。 不定积分的基本公式是最基础的，是做一切积分题的前提，必须要能默写（13个+2个） 3. 熟练掌握不定积分第一类换元法，第二类换元积分法（限于三角代换与简单的根式代换） （1）第一类换元法： （① 凑微分） （② 换元， 可以省略，写到草稿纸上） （③ 用积分公式，可以省略，写到草稿纸上） （④ 回代还原）。 （2）第二类换元法： 主要解决：带有根式的函数的积分：， 令，则 基本的三角代换： ①含有时，令，从而，． ②含有时，令，从而，． ③含有时，令，从而，． 4. 掌握不定积分的分部积分法。 主要解决：对数、反三角、五类基本初等函数中的两类相乘的积分。 5. 会求简单的有理函数及简单的无理函数的不定积分。 先将被积函数化为：整式+真分式。 再化部分分式：将分式化为多个分式相加减。每一个分式的分母仅为一次式或不可分解的二次式。 例1（成都理工大学13：理科、文科——选择题1个3分）已知，则【 】(A) (B) (C) (D) 例2（成都理工大学14：理科、文科——选择题1个3分）．若，则=【 】 （A） （B） （C） （D） ； ②；（攀枝花学院13：理科——解答题2个12分） ③ （攀枝花学院13：文科——解答题1个5分） (1)（攀枝花学院14：理科——解答题1个6分）计算 例4 求下列积分 ① ； ② ； ③； ④ ； ⑤ （二）定积分 1. 理解定积分的概念与几何意义，了解函数可积的条件。 （1） 定义 （2）结论： ① 定积分与积分变量的无关： ② ，， ， （4）函数可积的两个充分条件 ① 在上连续在上可积。 ② 在上有界，且只有有限个间断点在上可积。 （5） 定积分的几何意义 ① 在上 ； ② 在上 ； ③ 在上有正有负 ④ 由曲线、直线、及轴围成的图形的面积为： 2. 掌握定积分的基本性质。 性质1 （运算性质） ① ； ② 。 性质2 （可加性） ． 性质3 （可比性）在上， ． 性质4（估值定理），．M与m分别是函数在上的最大值及最小值。 性质5 （定积分中值定理） 如果函数在闭区间上连续，则在积分区间上至少存在一点，使得 （）． 3. 了解变上限； ② ③ 4. 熟练掌握牛顿—莱布尼兹公式。 函数是连续函数在区间上的一个原函数 分段函数、带绝对值符号的函数的积分： 可加性 5. 掌握定积分的换元法和分部积分法，并会证明一些简单的积分恒等式。 （1）定积分的换元法 令，则 当时，；当时， （2）定积分的分部积分法 主要解决：对数、反三角、五类基本初等函数中的两类相乘的积分。 （3）重要结论 ① 奇、偶函数在对称区间上的积分 当在上为奇函数时，； 当在上为偶函数时，．