中北大学关于插值方法的报告..doc

关于数值分析中插值方法的报告 学 院：机电工程学院 姓 名： 学 号： 2015年 12 月 22 日 1应用背景 在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。 早在6世纪，中国的刘焯已将等距二次插值用于天文计算。17世纪之后，牛顿、拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插值公式。在近代，插值法仍然是数据处理和编制函数表的常用工具，又是数值积分、数值微分、非线性方程求根和微分方程数值解法的重要基础，许多求解计算公式都是以插值为基础导出的。 插值问题的提法是：假定区间[a，b〕上的实值函数f（x）在该区间上 n＋1个互不相同点x0，x1……xn 处的值是f（x0），……f（xn），要求估算f（x）在[a，b〕中某点的值。其做法是：在事先选定的一个由简单函数构成的有n＋1个参数C0，C1，……Cn的函数类Φ(C0，C1，……Cn)中求出满足条件P（xi）＝f（xi）（i＝0，1，…… n）的函数P(x)，并以P(x)作为f(x)的估值。此处f（x）称为被插值函数，x0，x1，……xn称为插值结(节)点，Φ(C0，C1，……Cn)称为插值函数类，上面等式称为插值条件，Φ（C0，……Cn）中满足上式的函数称为插值函数，R（x）＝ f（x）－P（x）称为插值余项。 求解这类问题，它有很多种插值法，其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点，常用的插值还有Hermit插值，分段插值和样条插值。 数值分析是高等学校理工科一门重要的基础课程，主要研究数学方法的数 值求解。数值分析是各种计算性科学的联系纽带和共性基础，是一门兼有基础性、 应用性和边缘性的交叉学科，数值分析中插值法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、 埃尔米特插值法等。本文主要介绍了各种插值方法的计算分析和推导，通过简单的 例题进行算法分析并编程得出计算结果。 2多种插值方法的分析比较 数值分析插值法是一种古老的数学方法，它来自生产实践。 利用计算机解决工程问题与常规手工计算的差异就在于它特别的计算方法.电 机设计中常常需要通过查曲线、表格或通过作图来确定某一参量，如查磁化曲线、査异步电动机饱和系数曲线等.手工设计时，设计者是通过寻找坐标的方法来实现.用 计算机来完成上述工作时，采用数值插值法来完成。因此学好数值分析的插值法很重要。 2. 1插值方法的定义 插值法又称“内插法”，是利用函数f (x)在某区间中插入若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值，这种方法称为插值法。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。 3常用的几种插值方法 3. 1 Lagrange 插值 3.1.1基本原理 构造n次多项式Pn (x)= yk lk (x)=y0l0 (x)+y1l1 (x)+…+ynln (x)，这是不超过n次的多项式，其中基函数lk(x)= 显然lk (x)满足lk (xi)= 此时 Pn(x)≈f(x),误差Rn(x)=f(x)-Pn(x)= 其中∈(a,b)且依赖于x，=（x-x0）(x-x1)…(x-xn) n=1、插值节点只有两个xk,xk+1时 P1(x)=yklk(x)+yk+1lk+1(x) 其中基函数lk(x)= lk+1(x)= 3.1.2优缺点 可对插值函数选择多种不同的函数类型，由于代数多项式具有简单和一些良好的特性，故常选用代数多项式作为插值函数。利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数Lk(x)(k=0,1,…,n)均要随之变化，整个公式也将发生变化，这在实际计算中是很不方便的，为了克服这一缺点，提出了牛顿插值可以克服这一缺点。 3. 2 Newton 插值 3.2.1基本原理 构造n次多项式Nn(x)=f(x0)+f(x0,x1)(x-x0)+f(x0,x1,x2)(x-x0)(x-x1)+… +f(x0,x1,x2,…,xn)(x-x0)(x-x1)…(x-xn) 称为牛顿插值多项式，其中 (二个节点，一阶差商) (三个节点，二阶差商) (n+1个节点，n阶差商) 注意：由于插值多项式的唯一性，有时为了避免拉格朗日余项Rn(x)中n+1阶导数的运算，用牛顿插值公式Rn (x)=f(x)-Nn(x)=f(x,x0,…,xn)ωn+1(x), 其中ωn+1(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn) 3.2.2优