中南大学研究生应用统计课件..doc

数理统计的基本概念与抽样分布 §1.1 引言 什么是数理统计学？它的研究内容有哪些？这是每位初学者所关心的问题。 我们先看一个这样的例子： 某钢筋厂每天可以生产某型号钢筋10000根，钢筋厂每天需要对生产过程进行控制，对产品的质量进行检验。如果把钢筋的强度作为钢筋质量的重有指标，于是质量管理人员需要做如下方面的工作 第一，对生产出来的钢筋的强度进行检测，获得必要的数据。这里有两种获得数据的方法，⑴ 对10000根钢筋的强度均进行检测，可得到10000个强度数据，这种检测方式称为全面试验，全面地进行试验一般是不可取的，它费时、费力、甚至于不可能。 ⑵从10000根钢筋中抽取一部分钢筋进行检测，得到部分强度数据。这里抽取部分钢筋进行检测的方式称为抽样。抽取的方式也有很多种方法，它是数理统计的一个重要内容，形成了试验设计与抽样理论。 第二，对通过抽样获取的部分数据进行整理、分析并推断出这10000根钢筋的质量是否合乎要求。由于抽取的数据不全面,并且检测过程中每个数据还有测量误差(我们称为随机误差)。含有随机误差的数据会给我们带来一定影响,并且难以获得准确的结论。概率论就是解决这些问题主要数学工具。为解决这些问题所发展起来的理论和方法就构成了数理统计的内容。一般说来，数理统计是以概率论为主要的数学工具，研究如何有效地收集、整理和分析受随机影响的数据，并对所考虑的问题作出推断和预测，为决策和行动提供依据和建议的一门数学学科。 数理统计方法的应用十分广泛，几乎在人类活动的一切领域都能不同程度地找到它的应用。英国著名的统计学家费歇（Ｒ.A.Fisher）和皮尔逊(K.Pearson)是数理统计的奠基人,在20世纪初从事大量的数理统计方法的研究,就是出于在生物学、数量遗传学、优生学和农业科学的需要。 数理统计的内容十分丰富，一般可分为两大类：一类是抽样理论与试验设计；另一类是统计推断，其中包括估计理与假设检验等。回归分析、方差分析、Bayes分析，聚类分析，主成分分析等是数理统计的应用分支。 §1.2 总体、个体、样本 1.21 总体与个体 我们把所研究对象的全体称为总体或母体。组成总体的每个单元称为个体。例如：在研究某批灯泡的质量时，该批灯泡的全体就是问题的总体，而其中每个灯泡就是个体。又如：在研究某校男大学生的身高与体重的分布时，该校的每个男大学生就是一个个体，所有这些个体就构成了问题的总体。 在实际问题中，我们关心的常常是总体的某项或几项数量指标X（可以是向量）。例如，在研究灯泡的质量时，我们关心的是灯泡的使用寿命X，而不是它的外观。在研究某校男大学生的身高与体重时，我们关心的是它们的身高和体重，而不是其它特征。而数量指标X对不同的个体，其指标值是不同的，因而X可看作一个随机变量。（或随机向量），X的概率分布就完全描述了总体中指标X的取值情况。称X的概率分布为总体分布，称X的数字特征称为总体的数字特征。当X为离散型随机变量时称总体为离散总体；当X为连续型随机变量时，称总体为连续总体。当总体分布为正态分布时，称总体为正态总体，当总体分布为指数分布时，称总体为指数分布总体等。对总体进行研究就是对总体的分布或对总体的数字特征进行研究。 样本 从总体中抽取的一部分个体称为样本或者子样，其中所含个体的个数称为样本容量。从总体中抽取样本的过程称为抽样。样本和总体一样也是考虑其数量指标，如果记为样本中第个个体的数量指标，则表示样本容量为n的样本，它可以看作是对总体X作n次观测的结果，它的值随着从总体中抽取的对象的不同而不同。因此，它是随机变量，然而，一旦确定抽取对象后，我们就得到一组具体的数值，它可以看作是随机变量的一组观测值，有时也称为样本。因此，从某种意义上来说，样本具有二重性：随机性和确定性。注意样本的这种二重性非常重要。对理论工作者而言，他更多注意的是它的随机性，他所得到的统计方法应有一定的普遍性，不单纯针对某些具体样本观测值。而对应用工作者而言，他们虽然习惯把样本看成具体数字，但仍不能忘记样本的随机性，要不然对那些杂乱无章的数据无法进行统计处理。 数理统计的实质就是利用样本的信息去研究总体，去研究总体的某种性能。样本的“好”与“不好”对推断总体影响很大。怎样才是“好”的样本？ 定义1.1 设总体X的样本满足 ⑴ 独立性：每次观测结果既不影响其它结果，也不受其它结果的影响；即相互独立； ⑵ 代表性：中每一个个体都与总体X有相同分布。 则称此样本为简单随机样本。 例如，在N根钢筋中抽取n根钢筋进行检测，如果进行有放回抽样即每次随机地从N根钢筋中抽取一根钢筋，检测后放回并混匀，然后再从中抽取。这样得到的样本就是简单随机样本。如果采取无放回抽样即每次抽取一根钢筋，检测后