9-4薛定谔方程解析.ppt

第9章 近代物理 薛定谔方程 * 一、薛定谔方程 假设一个质量为 的粒子被限制沿 轴运动，所受力为 。 经典力学中要解决的问题是确定在给定任意时刻这个粒子的位置： 并由此求出我们感兴趣的其它物理量。确定 是通过求解牛顿运动方程 量子力学中要解决的问题不是确定 而是要寻找粒子的波函数 ，得到这个波函数是通过求解薛定谔方程： 其中力可以表示为势能函数 的导数 上式中， 是 的平方根， 是约化普朗克常量， 是限制粒子运动的势能函数。 薛定谔方程的作用和地位就像经典力学中的牛顿第二定律：给定适当的初始条件 ，薛定谔方程确定以后所有时刻的波函数 ，然后可以根据波函数求出感兴趣的动力学量的期待值。 薛定谔方程是量子力学的一条基本原理，它揭示了微观世界中物质运动的基本规律。 二、定态薛定谔方程 先将波函数写成 于是 代入薛定谔方程 两边同时除以 要得到波函数 必须要解薛定谔方程，假设 不随时间变化即 ，则可以通过分离变量法来求解： 上式左边仅是 的函数，右边仅是 的函数。这样方程成立的唯一可能就是两边都是常数，记这个常数为 这样就得到两个方程 第一个方程可以直接解出 由于我们感兴趣的是乘积 ，所以常数 可以并到 里，这样 第二个方程可以写成 称为定态薛定谔方程 如果不指定具体的 我们将无法继续求解定态薛定谔方程 注意： 1、尽管波函数本身 明显与时间有关，但概率密度即波函数模的平方 却不依赖时间——时间因子被相互抵消。因此以后我们可以简单的用 来代替 。 2、定态是能量取确定值的状态。 经典力学中，总能量（动能加势能）称为哈密顿量 。 通过标准的替换规则将动量替换成动量算符 则能量算符即哈密顿算符写成 则定态薛定谔方程写成 由这个方程可以得出总能量的每一次测量结果是确定的值 ，因此定态是能量取确定值的状态。 特定的E值称为能量本征值 故上面方程又称为：能量本征值方程 定态波函数: 关于 的取值，从数学上讲，给定一个E 就有相应的解；从物理上讲，只有特殊的E 才能得到满足物理要求的解，这就意味着能量只能取分立的值--量子化。 各E 值所对应的 叫能量本征函数 三、一维无限深方势阱 粒子势能 满足的边界条件 1）是固体物理金属中自由电子的简化模型； 2）数学运算简单，量子力学的基本概念、原理在其中以简洁的形式表示出来 . 意义 势井外， 为无穷大，粒子毫无可能逃出去。 势井内， 定态薛定谔方程为 或者 其中 通解 的连续性要求 所以 量子数 基态能量 激发态能量 一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的 . 由归一化条件 所以，本征函数 得 本征函数 解方程得到一个无限的解集（每一个正整数n对应一个解）。它们看起来像在一个长度为a的弦上的驻波。n=1时为基态 一维方势垒如图 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 粒子沿 方向运动,当 粒子可以通过势垒。 当 ，实验证明粒子也能通过势垒,这只有由量子力学的到解释。 四、一维势垒 隧道效应 设三个区域的波函数分别为 在各区域薛定谔方程分别为 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 令 为实数 解为： 三个区域中波函数的情况如图所示： 隧道效应 在粒子总能量低于势垒壁高的情况下,粒子有一定的概率穿透势垒. 此现象称为隧道效应。 贯穿势垒的概率定义为在 处透射波的强度与入射波的强度之比： 贯穿概率与势垒的宽度与高度有关。 扫描隧道显微镜(STM) 原理： 利用电子的隧道效应。 金属样品外表面有一层电子云，电子云的密度随着与表面距离的增大呈指数形式衰减，将原子线度的极细的金属探针靠近样品，并在它们之间加上微小的电压，其间就存在隧道电流，隧道电流对针尖与表面的距离及其敏感，如果控制隧道电流保持恒定，针尖的在垂直于样品方向的变化，就反映出样品表面情况。 48个Fe原子形成 “量子围栏”， 围栏中的电子形成驻波。 STM的横向分辨率已达 ，纵向分辨达 , STM的出现，使人类第一次能够实时地观察单个原子 在物质表面上的排列状态以及表面电子行为有关性质。 STM获得的硅晶体表面原子排列 谐振子的势能为 薛定谔方程为 其能量本征值为 基态能(零点能) 五、一维谐振子 能级间隔 一维谐振子的能