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第二章 开放式光腔与高斯光束 习题 1．试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。 证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示： 其往返矩阵为： 由于是共焦腔，有 往返矩阵变为 若光线在腔内往返两次，有 可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。 于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。 5．激光器的谐振腔由一面曲率半径为1m的凸面镜和曲率半径为2m的凹面镜组成，工作物质长0.5m，其折射率为1.52，求腔长L在什么范围内是稳定腔。 解：设两腔镜和的曲率半径分别为和， 工作物质长，折射率 根据稳定条件判据： 其中 由(1)解出 由(2)得 所以得到： 6．图2.1所示三镜环形腔，已知，试画出其等效透镜序列图，并求球面镜的曲率半径R在什么范围内该腔是稳定腔。图示环形腔为非共轴球面镜腔。在这种情况下，对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线，式(2.2.7)中的，对于在与此垂直的平面内传输的弧矢光线，，为光轴与球面镜法线的夹角。 图2.1 解： 稳定条件 左边有 所以有 对子午线： 对弧失线： 有： 或 所以 同时还要满足子午线与弧失线 7．有一方形孔径的共焦腔氦氖激光器，L=30cm，，，镜的反射率为，其他的损耗以每程0.003估计。此激光器能否作单模运转？如果想在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来选择模，小孔的边长应为多大？试根据图2.5.5作一个大略的估计。氦氖增益由公式计算。 解：设模为第一高阶模，并且假定和模的小信号增益系数相同，用表示。要实现单模运转，必须同时满足下面两个关系式 根据已知条件求出腔的菲涅耳数 由图2.5.5可查得和模的单程衍射损耗为 氦氖增益由公式 计算。代入已知条件有。将、、、和的值代入I、II式，两式的左端均近似等于1.05，由此可见式II的条件不能满足，因此该激光器不能作单模运转。 为了获得基模振荡，在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来增加衍射损耗。若满足II式的条件，则要求 根据图2.5.5可以查出对应于的腔菲涅耳数 由菲涅耳数的定义可以算出相应的小孔阑的边长 因此，只要选择小孔阑的边长略小于0.83mm即可实现模单模振荡。 8．试求出方形镜共焦腔面上模的节线位置，这些节线是等距分布的吗？ 解：在厄米高斯近似下，共焦腔面上的模的场分布可以写成 令，则I式可以写成 式中为厄米多项式，其值为 由于厄米多项式的零点就是场的节点位置，于是令，得 考虑到，于是可以得到镜面上的节点位置 所以，模在腔面上有三条节线，其x坐标位置分别在0和处，节线之间位置是等间距分布的，其间距为；而沿y方向没有节线分布。 10．今有一球面腔，，，。试证明该腔为稳定腔；求出它的等价共焦腔的参数；在图上画出等价共焦腔的具体位置。 解：该球面腔的g参数为 由此，，满足谐振腔的稳定性条件，因此，该腔为稳定腔。 两反射镜距离等效共焦腔中心O点的距离和等价共焦腔的焦距分别为 根据计算得到的数据，在下图中画出了等价共焦腔的具体位置。 11.解： 平凹腔 L＝50cm，凹面镜的 R＝2m， 2a＝1cm，λ＝10.6um，由公式 可得 由平凹腔和对应共焦腔的关系可知，束腰位置在平面镜处，平面镜上的光斑半径既 是腰斑半径，有 进而可得 计算等效菲涅耳数，有 其中 可得 由可得， ? ? ??? 13.解： R1=∞， R2＝1m，由公式 可知，在满足稳定性条件 L1m 范围，当 L（ 1－L）取极大值时θ0取极小值， 可求得在 L＝0.5m 时，θ0取极小值， 根据上述公式可画出光束发散角θ0与腔长 L 的关系曲线，如下所示 14.解： R1=∞， R20，稳定性条件为 R2L，可得 g 参数：g1=1, g2=1-L/R20.由公式 可得： （ 1）由上述公式，画出 R2=100cm 时，ωs1、ωs2随 L 变化的曲线如下： （ 2）由上述公式，画出 L=100cm 时，ωs1、ωs2随 R2 变化的曲线如下： 15.解：因腔是半共焦腔，可知基模高斯光束的共焦参数 f＝R/2=L=1m， 远场发散角 光束束腰半径： 束腰在腔的平面镜镜面位置。 注： 对半共焦腔， 在平面镜上的光斑半径即是束腰半径， 凹面镜上的光斑半径?s2 ? 2?0 16．某高斯光束腰斑大小为=1.14mm，。求与束腰相距30cm、10m、1000m远处的光斑半径及波前曲率半径R。 解：入射高斯光束的共焦参数 根据