9.3两个角动量的耦合,Clebsch-Gordan系数解析.ppt

9.3 两个角动量的耦合，CG系数 在第8章中讨论过自旋与轨道角动量的耦合， 以及两个电子的自旋耦合.下面普遍讨论两个角动量的耦合. 量子力学教程 量子力学教程(第二版) 9.3 两个角动量的耦合，CG系数 设 与 分别表示第一和第二粒子的角动量，即 （1） 由于它们分别对不同的粒子的态矢运算，彼此是对易的 （2） 定义两个角动量之和 （3） 利用对易式（1）和（2），不难证明 （4） 或表示成 设 的共同本征态为 （5a） 类似， 的共同本征态为 （5b） 对于两个粒子组成的体系，它的任何一个角动量态 可以用 展开.换言之， 可作为 体系的对易力学量完全集， 是它们的共同 本征态， 以之为基矢的表象，称为非耦合表象.在给定 和 的情况下， （6） 所以 共有 个，即它们张开 维子空间. 考虑到 （7） 也是两粒子体系的一组对易力学量完全 集，共同本征态记为 ，以其为基矢的表象称为 耦合表象，即 （8） 在给定 和 的子空间中，耦合表象基矢可以简记为 试问 可以取哪些值？耦合表象和非耦合表象基矢 之间的关系如何？令 （9） 展开系数称为Clebsch-Gordan(CG)系数，即子空间中 耦合表象和非耦合表象基矢之间幺正变换矩阵的矩阵元. 考虑到 ，对式（9）运算，得 （10） 即 在自旋表象子空间中，非耦合表象基矢是彼此独立的（完备的）正交归一矢，式（10）右边的所有系数必须为零，即 （11） 所以 ，式（9）可改写为 （12） 我们知道，任何表象的基矢都有相位不确定性，但如取适当的相位规定，就可以使CG系数为实数.在此情况下，用式（12）代入正交归一性关系 对于 给出 即 （13） 习惯上取CG系数为实，因此式（9）之逆可表示为 （14） 代入正交归一性关系 得 对 ,得 （15） 式（13）和（15）就是CG系数幺正性和实数性的反映. 的取值范围. 给定 和 即 ，所以 按角动量性质，可知 试问， 还可以取 哪些值？最小值取多少？ 和 的态空间，维数是 而在表象变换时， 空间的维数是不变的.对于一个 值， 有 个可 能取值.因此，从维数不变的要求，有 （16） 左边求和得 （17） 我们注意到，对于给定的 因此，如 ，如 总之， 所以 取值范围如下： （18） 此结果可概括为三角形法则 按式（11）和（18），概括起来，CG系数有下列两个基本性质： （a） 仅当 时， 才不等于零. （b）仅当 时， 才不等于零. （19） 应当提到，角动量非耦合表象和耦合表象之间的幺正变换有一个相位不定性，通常采用的相位规定是：让 （a）CG系数为实； （b） 为非负实数. （20） Racah利用代数方法推导出了CG系数的普遍公式 （21） 求和中，整数 应取得使所有阶乘因子中的数是非负 整数. 利用式（21）可得出CG系数的各种对称性关系： （22）