二次函数与几何问题..docx

一、抛物线中的线段和角坐标平面上的几何问题很多，先来看一道在二次函数图像中，根据角相等确定相关点的坐标问题。例1、已知二次函数的图像经过A（－3，6），与轴交于点B（-1，0）和点C，顶点为P。（1）求该二次函数的解析式；（2）设点D为线段OC上的一点，满足∠DPC=∠BAC，求点D的坐标。小结：解题过程是点的坐标→确定解析式→确定其他点的坐标→角的关系、线段的长→线段比例式→点的坐标。整个过程中，数（坐标、解析式）形（角相等、三角形相似、线段成比例）之间相互转化，数形结合思想得到充分的体现。下面的问题是在二次函数图像中求角的三角比1-1、已知二次函数的顶点为P，与y轴交于点A。求∠OPA的正切值。1-2、已知直角坐标平面上有A（-1，0）、B、C（0，3）三点，点B在x轴正半轴上，且∠ABC=45°，点C关于上述二次函数图像对称轴的对称点是D，AD交BC于点E。（1）求图像经过A、B、C三点的二次函数的解析式；（2）求对于一个含有参数的二次函数解析式，都可以在给定的条件下求出该参数的值。1-3、已知二次函数的解析式为， m为常数。（1）求证：这个二次函数图像与x轴必有公共点，且其中有一个点是定点；（2）设这个二次函数图像与x轴相交于A、B两点（点A在B的左侧），与y轴相交于点C，当BC=时，求m的值。小结：以坐标轴为背景的题目，也经常会进行分类讨论。例如“已知点在x轴（或y轴）上”需要考虑在原点的左边还是右边（或上面还是下面）；已知图形的面积求点的坐标时，由于列主程加了绝对值符号，所以一般都有两解；直线可能要考虑截距有正负，与x轴的夹角可能是锐角也可能是钝角；双曲线要考虑图像在第一、三象限还是第二、四象限；二次函数要考虑图像开口向上还是向下，等等。二、抛物线的内接三角形　　以抛物线上的三个点为顶点的三角形称为抛物线的内接三角形。已知内接三角形的三个顶点的坐标可以求出抛物线的表达式。例2、已知抛物线与x轴交于点A（-3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，-3），抛物线顶点为D，联结AD、AC、CD。（1）求该抛物线的表达式；（2）△ACD与△COB是否相似？如果相似，请给予证明；如果不相似，请说明理由。（3）抛物线的对称轴与线段AC交于点E，求△CED的面积。小结：抛物线的内接三角形是常见的函数几何问题，主要题型有：（1）由内接三角形顶点坐标求二次函数解析式；（2）求内接三角形的面积；（3）求三角形各顶点坐标（4）判定内接三角形之间的特殊关系（全等或相似）或由内接三角形之间的特殊关系求三角形各顶点坐标（5）判定特殊的内接三角形的形状（等腰或直角）或求特殊内接三角形的顶点坐标，等等。2-1、抛物线与x轴的左交点为A，与y轴的交点为B，将△AOB绕着点O逆时针旋转90°后到△A’OB’,且抛物线过点A’、B’。（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的表达式；（3）点D在x轴上，若以点B、B’、D为顶点的三角形与△A’BB’相似，求点D的坐标。2-2、已知抛物线与x轴交于A、B两点，其中点A位于点B的左侧，与y轴交于点C，顶点为P。（1）求A、B、C、P的坐标；（2）求下列各三角形的面积：（1）△ABC； （2）△POC； （3）△PBC； （4）△PAC。小结：已知顶点坐标求三角形面积的一般方法是：（1）当三角形的两边落在坐标轴上时，可采用直接计算；（2）当三角形的一边落在坐标轴上时，可以这边为底，以第三个顶点的横坐标或纵坐标的绝对值为高即可；（3）当三角形的三边都不在坐标轴上时，可通过作坐标轴的垂线，化为情况（1）或（2），先求出直角三角形或直角梯形的面积，再通过“割”或“补”的方法计算出所求三角形的面积。以下我们来探究以抛物线的顶点为顶点的内接等腰三角形的顶角与判别式的数量关系。2-3、（1）已知抛物线与x轴相交于A（-1，0）、B（3，0），与y轴相交于C（0，），顶点为P，∠APB=a,求Δ=的值及a的大小；（2）已知抛物线与x轴相交于A、B两点，顶点为P，∠APB=90°，求Δ=的大小；（3）已知抛物线与x轴相交于A、B两点，顶点为P，∠APB=60°，求Δ=的大小；（4）已知抛物线与x轴相交于A、B两点，顶点为P，∠APB=a，用含a的三角比的式子表示Δ=；小结：结果显示抛物线的顶点与交x轴的两点组成的等腰三角形的顶角a的大小只与Δ=的值有关。Δ=.