二重积分对称性定理的证明及应用..doc

目录 要…………………………………………………………………………………...…1 关键词…………………………………………………………………………………..……..1 Abstract ………………………………………………………………………………..…1 Keywords………………………………………………………………………………….1 前言………………………………………………………………………………………...1 1．……………………………………………………………………………….1 2．…………………….…2 2.1 积分区域关于坐标轴对称………………………………………………………….2 2.2 积分区域关于坐标区域内任意直线对称…………………………………….….5 2.3 积分区域关于坐标原点对称………………………………………………….……9 2.4 积分区域关于坐标区域内任意一点对称…………………………………...……11 2.5 积分区域同时关于坐标轴和坐标原点对称………………………………..…….12 结束语…………………………………………………………………………………….12 参考文献……………………………………………………………………………...….13 二重积分对称性定理的证明及应用 摘 要：关键词：Abstract：Keywords：; Integral region; Integrated function 前言具有对称性，而且被积函数对于区域也具有对称性，才能利用对称性来计算．在特殊情况下，虽然积分区域没有对称性，或者关于对称区域被积函数没有对称性，但经过技巧性的处理，化为能用对称性来简化计算的积分．这些都是很值得我们探讨的问题． 1 预备知识 对于二重积分的计算，我们总是将其化为二次定积分来完成的，而在定积分的计算中，若遇到对称区间，则有下面非常简洁的结论： 当在区间上为连续的奇函数时，． 当在区间上为连续的偶函数时，． 这个结论，常可简化计算奇、偶函数在对称于原点的区间上的定积分． 在计算二重积分时，若积分区域具有某种对称性，是否也有相应的结论呢？回答是肯定的．下面，我们将此结论类似地推广到二重积分． 2 二重积分对称性定理在不同条件下的证明及其应用 定理1 若二重积分满足 (1) 区域可分为对称的两部分和，对称点，； (2) 被积函数在对称点的值与相同或互为； 则 ． 其中的坐标根据的对称性的类型而确定． 2.1 积分区域关于坐标轴对称 2.1.1 积分域关于ｘ轴对称，为上的连续函数 定理2 如果积分域关于轴对称，为的奇偶函数，则二重积分 ， 其中为在轴的上半平面部分． 证明 (1) 若区域对称于轴图，对任意，其对称点 ，，令 ， 则变换为坐标面上的，且雅可比行列式 ． 故 ， 于是，代入（1）式得： ． 例1 计算，其中区域： 解 是关于的奇函数且关于轴对称， 所以 ． 例2 计算，其中区域： 解 因为是关于的偶函数，且关于轴对称， 所以 2.1.2 积分域关于轴对称，为上的连续函数 定理3 如果积分域关于轴对称，为的奇偶函数，则二重积分 ， 其中为在轴的右半平面部分． 证明 若区域对称于轴图2，对任意，对称点，类似定理2的证明可得 ． 例3 计算，其中： 解 ， ， 且区域D关于轴对称，所以　　　　　　　 ． 例4 计算，其中区域： 解 是关于的偶函数，且区域关于轴对称， 所以 ． 2.2 积分区域D关于坐标区域内任意直线对称 将积分区域关于坐标轴对称的情况推广到积分区域关于坐标区域内任意直线对称，则有下面定理： 定理4 如果积分域关于直线对称，则二重积分 其中为在以直线为轴的右半平面部分 图3 证明 若区域对称于直线，不妨设，即倾斜角为锐角． 首先，平移坐标轴，得坐标系,如图3 ， 即 　．　　　　 　 （2） 其次，将坐标系沿逆时针方向旋转，旋转角为，使轴与直线重合．得新坐标系： （3） 由得 ， 即 ． 坐标面内对称于直线的区域，在新坐标系内对应的区域关于轴对称．面内任意点，在面内对应点． ，， 点关于轴对称点，在面内对应点为， 将代入，化简得： ． 因此，面内点关于直线的对称点为 ， 雅可