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对数函数及其性质 编稿：丁会敏 审稿：王静伟 【典型例题】 类型一、函数的定义域 求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用. 例1. 求下列函数的定义域： (1)； (2). 【答案】（1）；（2）． 【解析】由对数函数的定义知：，，解出不等式就可求出定义域. (1)因为，即，所以函数； (2)因为，即，所以函数. 【总结升华】与对数函数有关的复合函数的定义域：求定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于的定义域时，应首先保证． 举一反三： 【变式1】求下列函数的定义域. (1) y= (2) （且）. 【答案】（1）(1，)(，2(1)因为， 所以， 所以函数的定义域为(1，)(，2. （2）因为 ， . ①当时，定义域为； ②当时， (i)若，则函数定义域为(，+)； (ii)，且，则函数定义域为(-∞，)； (iii)，则当时，函数定义域为；当时，此时不能构成函数，否则定义域为?. 【变式2】函数的定义域为[-1，2]，求的定义域. 【答案】[，16]. 【答案】由，的定义域为[，4]，再由得的定义域为[，16]. 类型二、对数函数的单调性及其应用 利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念. 例2. 比较下列各组数中的两个值大小： (1)； (2)； (3)与； (4) 与． (5)（）． 【思路点拨】利用函数的单调性比较函数值大小。 【答案】(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) 略． 【解析】由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成. (1)解法1：画出对数函数的图象，横坐标为3.6的点在横坐标为8.9的点的下方，所以，； 解法2：由函数在R+上是单调增函数，且3.68.9，所以； (2)与第(1)小题类似，在R+上是单调减函数，且1.93.5，所以； (3)函数和的图象如图所示．当时，的图象在的图象上方，这里，． (4) (5) 注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小. 解法1：当时，在(0，+∞)上是增函数，且5.15.9，所以， 当时，y=logax在(0，+∞)上是减函数，且4.24.8，所以， 解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小， 令，则，令，则 当时，在R上是增函数，且4.24.8， 所以，b1b2，即 当时，在R上是减函数，且4.24.8 所以，b1b2，即. 【总结升华】比较两个对数值的大小的基本方法是： （1）比较同底的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性． （2）比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法：①先利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小；②利用对数函数图象的互相位置关系比较大小． （3）若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小． 【高清课堂：对数函数 369070 例3】 例3．比较其中0a1b且a·b1的大小. 【答案】 【解析】由0a1b且a·b1，得， ， ，即 【总结升华】若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小，中间变量常常用“0”和“1”．用“0”和“1”把所给的数先分两组，然后组内再比较大小． 举一反三： 【变式1】已知则（ ） A． B． C． D．C 【解析】另，，，在同一坐标系下作出三个函数图像，由图像可得 又∵为单调递增函数， ∴ 故选C. 【高清课堂：对数函数369070 例2】 【变式2】比较的大小． 【答案】 【解析】 例4．求函数的值域和单调区间. 【思路点拨】先解不等式，保证原式有意义，然后再在定义域范围内求内函数的单调区间，然后根据复合函数的单调性就是内函数与外函数的单调性“同增异减”来求解． 【答案】[-1，+；增区间为；减区间为． 【解析】设，.∵ y=为减函数，且， ，，+.再由：函数的定义域为，. ∴ 在上递增而在上递减，而y=为减函数. ∴ 函数的增区间为，减区间为. 【总结升华】对数型复合函数一般可分为两类：一类是对数函数为外函数，即型；另一类是内函数为对数函数，即型．对于型的函数的单调性，有以下结论：函数的单调性与函数的单调性，当时相同，当时相反． 研究型复合函数的单调性，一般用复合法来判定即可．复合函数的单调性就是内函数与外函数的单调性“同增异减”． 研究对