[算法合集之浅谈棋盘的分割思想.docVIP

棋盘中的棋盘 ——浅谈棋盘的分割思想 复旦大学附属中学 俞鑫 【摘要】【关键词】——棋盘的分割思想。 对于一个m×n的棋盘，它所含的子棋盘共有Cm×Cn个，而其分割方法更是不计其数。巧妙地对棋盘进行分割，可以解决许多种类的棋盘问题。 例一：棋盘覆盖（经典问题） 题目描述： 在一个2k×2k方格组成的棋盘中，若恰有一个方格与其他方格不同，则称该方格为一特殊方格，且称该棋盘为一特殊棋盘。显然特殊方格在棋盘上出现的位置有4k种情形。因而对任何k≥0，有4k种不同的特殊棋盘。图中的特殊棋盘是当k=2时16个特殊棋盘中的一个。 在棋盘覆盖问题中，我们要用以下4种不同形态的L型骨牌覆盖一个给定的特殊棋盘上除特殊方格以外的所有方格，且任何2个L型骨牌不得重叠覆盖。易知，在任何一个2k×2k的棋盘覆盖中，用道的L型骨牌个数恰为(4k-1)/3。 现求一种覆盖方法。 输入：第一行为k（棋盘的尺寸），第二行为x,y (1 ≤ x,y ≤ 2k ) ，分别表示特殊方格所在行与列。 输出：共2k行，每行2k个数，分别表示覆盖该格的L型的编号（特殊格用0表示）。 样例： 输入： 2 1 2 输出： 1 0 2 2 1 1 3 2 4 3 3 5 4 4 5 5 算法分析 由棋盘尺寸为2k×2k ，我们可以想到将其分割成四个尺寸为2k-1×2k-1的子棋盘 可是，由于含特殊方格的子棋盘与其它子棋盘不同，问题还是没有解决。 只要稍作思考，我们就可以发现，只要将L型如图放置在棋盘的中央，就可以使四个子棋盘都变成特殊棋盘。此时问题也变成了四个相同的子问题，只需运用简单的递归就可以解决这道问题了。 二位数组num: 覆盖该格的L型的编号，下文所说的 对方格赋值即对其对应的num赋值。 x1,y1: 当前棋盘左上角方格的行号与列号 x2,y2: 当前棋盘右下角方格的行号与列号 x3,y3: 当前棋盘中特殊格的行号与列号 ck: 当前棋盘的尺寸（ 2ck×2ck ） cnum: 当前L型骨牌的编号 初始值： 开始时，将num[x,y]设为0 当ck=0时：棋盘尺寸为1×1，该格为已赋值的特殊格，不进行任何操作。 当ck0时：设xm为(x1+x2+1)/2，ym为(y1+y2+1)/2，比较x3与xm，y3与ym的大小就能知道特殊格所在子棋盘的位置，将另外三个子棋盘中靠近棋盘中央的三个方格赋值为cnum，并分别作为这三个子棋盘的特殊格。随后cnum增加1。再对这四个棋盘分别进行递归处理。 复杂度分析 时间复杂度：O(4k ) 空间复杂度：O(4k ) 由于覆盖一个2k×2k棋盘所需的L型骨牌个数为 (4k –1)/3，故该算法是一个在渐进意义下最优的算法。 参考程序 GAMERS.PAS 小结 将棋盘分割成子棋盘，要遵循以下两点： 1.分割出的棋盘要与原棋盘尽可能相像。 2.将原棋盘分割后尽量不要留下剩余部分。 但如果分割后必定留下剩余部分又该如何呢？ 下面这道例题就是用来解答这个问题的。 例二：孔明棋问题（URAL1051） 题目描述： 在一个无限大的棋盘的节点上有一些棋子，这些棋子构成一个m×n的矩形(m为高度，n为宽度且1≤m,n≤1000)。你可以用一个棋子跳过另一个相邻的棋子，被跳过的棋子将被移去，请你求出最少能剩下几个棋子。 输入：m,n 输出：最少能剩下的棋子数 样例： 输入： 3 4 输出： 2 下面是一种走法： 算法分析 由于m=1或n=1的情况比较特殊，我们先处理m,n≥2的情况。为了叙述方便，我们称由棋子所在格子组成的棋盘为“真棋盘”。通过样例，我们可以发现，对于图(a)中位于4、5、6格的连续三个棋子，若第1、2、3格上无棋子而第7、8、9格上均有棋子的话，则可以通过图(b)的操作将这三个棋子移去。我们称4、5、6三颗棋子为模块1。 但是经过一些尝试后，我们发现只使用模块1对m×n的真棋盘进行分割效果并不理想。原因在于模块1每次对连续3行同时进行处理，当m不是3的倍数时，分割后总会留下剩余部分。（必须注意的是，图中用蓝框框起来的部分，必须等到其左边的棋子被去除后，才能成为模块1。） 因此，我们需要对剩余部分进行处理。 我们发现，当m不为3的倍数时，总是留下1行或2行剩余部分。由于1行棋子很难去除，当只留下1行时，因为m≥2，且m模3余1，故m至少为4。于是我们就将最上方4行都作为剩余部分，对于剩下的m-4行，由于m-4是3的倍数，这m-4行可以用模块1进行分割。而4行棋子又可分为两部分，每部分都是2行棋子。因此，处