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课　时　授　课　计　划 课次序号： 8 一、课 题：矩阵的初等变换与初等矩阵 二、课 型：课堂讲授 三、目的要求：熟练掌握用初等行变换把矩阵化成行阶梯形和行最简形；知道矩阵等价的概念。知道初等矩阵，了解初等矩阵与初等变换的联系。掌握用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵的方法。 四、重点、难点：矩阵初等变换的方法；用初等变换求逆矩阵的方法。 五、教学方法及手段：采用课堂讲授的方法，并以多媒体课件辅助。 六、参考资料： 《线性代数学习辅导与习题选解》，同济大学应用数学系编，高等教育出版社 《线性代数学习与考试指导P791(1)(3),4 八、授课记录： 授课日期 班　　次 九、授课效果分析： 十、教学进程（教学内容、教学环节及时间分配等） 1、复习 回顾高中阶段用消元法解线性方程组所用到的几种运算。 2、导入课题 矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，它在解线性方程组，求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都可起到重要的作用。为引进矩阵的初等变换，先来回忆一下以前所接触的用消元法解线性方程组。 在用消元法解线性方程组的时候，用到三种变换，即：交换方程的次序；以不等于零的数乘某个方程；一个方程加上另一个方程的倍。由于这三种变换都是可逆的，所以变换前后的方程组是同解的。 在上述变换过程中，实际上只对方程组的系数和常数进行运算，未知数并没有参与运算。因此把线性方程组的系数和常数放在一个数表里，构成方程组的增广矩阵，即，那么上述对方程组的变换完全可以转化为对增广矩阵的变换。把方程组的上述三种同解变换移植到矩阵上，就得到矩阵的三种初等变换。 3、教学内容 定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换： （1）对调两行（对调两行，记作） （2）以数乘某一行中的所有元素（第行乘，记作） （3）把某一行中所有元素的倍加到另一行对应的元素上去（第行的倍加到第行上，记作） 把定义中的行换成列，即得矩阵初等列变换的定义。初等行变换与初等列变换统称初等变换。 显然，三种初等变换都是可逆的，而且其逆变换是同一类型的初等变换。 如果矩阵经过有限次初等变换变成矩阵，就称矩阵和是等价的，记作。 矩阵之间的等价关系具有下列性质： （1）反身性 ； （2）对称性 若则； （3）传递性 若则。 定义：矩阵称为行阶梯形矩阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元。行阶梯形矩阵称为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0。对行最简形矩阵再进行初等列变换，可变成一种形状更简单的矩阵，称为标准型。 例1：设把化成行最简形。 上式最后一个矩阵即为矩阵的行最简形。 矩阵的初等变换是矩阵的一种最基本的运算，它有着广泛的应用。下面我们进一步介绍一些有关知识。 定义2 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。 三种初等变换对应着三种初等矩阵。 1.对调两行或对调两列 把单位矩阵中第两行（列）对调，得初等矩阵 用阶初等矩阵左乘矩阵得 其结果相当于对矩阵施行第一种初等行变换：把的第行与第行对调。类似的，以阶初等矩阵右乘矩阵，其结果相当于对矩阵施行第一种初等列变换。 2.以数乘某行或某列 以数乘单位阵的第行（或第列） 第行 可以验知：以左乘矩阵，其结果相当于以数乘的第行；以右乘矩阵，其结果相当于以数乘的第列。 3.以数乘某行（列）加到另一行（列）上去 以乘的第行加到第行上或以乘的第列加到第列上，得初等矩阵 可以验知：以左乘矩阵，其结果相当于把的第行乘加到第行上，以右乘矩阵，其结果相当于把的第列乘加到第列上。 综上所述，可得下述定理。 定理1 设是一个矩阵，对施行一次初等行变换，相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵。 因为初等变换是可逆的，所以其对应的初等矩阵也是可逆的，并且 定理2 方阵可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵，使 （证明略） 推论1 方阵可逆的充要条件是。 推论2 矩阵与等价的充要条件是存在阶可逆矩阵及阶可逆矩阵，使. 设有阶矩阵及矩阵，求矩阵使。如果可逆，则