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概 率 全 章 教 材 分 析 (高洁 陕西师范大学 710062) 一．概率的地位与作用 1． 简单介绍概率的历史背景 （1）1654年法国骑士梅累向法国数学家帕斯卡提出了问题：“两个赌徒相约若干局，谁先赢了S局，赌博中止．若一人赢局，另一人赢，赌博中止，赌本如何分？”帕斯卡与费马在同性中取得了一致意见：在被迫停止的赌博中应当按每个局中人赌赢的数字其往来分配桌上的赌注．他们虽然没有明确定义概率的概念，但是，他们定义了某赌徒取胜的机遇，也就是赢的情况数与所有可能情况数的比，这实际上就是概率，所以概率的发展被认为是从帕斯卡和费马开始的． （2）雅各·伯努利在《猜度术》中提出了后来以“伯努利定理”著称的极限定理：若在一系列独立试验中，事件A发生的概率为常数P，那么对以及充分大的试验次数，有为任意小正数），其中为次试验中事件A发生的次数，伯努利定理刻画了大量经观测中呈现的稳定性，作为大数定律的最早形式而在概率论发展史上占有重要地位． 伯努利认为：先前人们对概率概念，多半从主观方面解释，即说成是一种“期望”，这种期望是先验的等可能性的假设，是以古典概型为依据的．这种方法有很大的局限性，也许只在赌博中可用，在更多的场合，由于无法数清所有的可能情况，也无法确定不同情况的可能性的大小，这种方法就不可行．他提出为了处理更大范围的问题，必须选择另一条道路，就是“后验地去验知我们所无法先验地确定的东西，也就是从大量相关实例的观察结果中去探知它．” （3）拉普拉斯1812年出版的《概率的分析理论》以强有力的分析工具处理概率论的基本内容，实现了从组合技巧向分析方法的过渡，开辟了概率论发展的新时期． （4）原苏联数学家科尔莫戈罗夫从测度论途径探讨整个概率论理论的严格表述，在1933年的经典著作《概率论基础》中建立起的公理系统逐渐得到了数学家们的普遍承认，由于公理化，概率论成为一门严格的演绎科学，取得了于其他数学分支同等的地位． 概率论不仅是“数学之树”的庞大枝条，而且还有若干强壮的根，直接扎根在实际应用环境的大地上．正如英国的逻辑学家和经济学家杰文斯所说，概率论是“生活真正的领路人，如果没有对概率的某种估计，我们就寸步难行．”（参徐传胜《概率论简史》） 2．中学概率的重要地位 在中学阶段，学生对数学的认识要经历三个飞跃：一是，学习函数后，从常量数学到变量数学的飞跃；二是，学习极限与导数后，从有限数学到无限数学的飞跃；三是，学习概率后，从确定性数学到随机性数学的飞跃．可见，在对随机现象的数学处理上不同于确定性数学，数学正朝着精确性――随机性――模糊性的方向在发展． 二．教学中的重点、难点、疑点试分析 1. 概率与频率的关系 1.1 频率是一个统计术语，总是和一定量的具体的试验相联系的，不同的人、不同的时间的试验会得到不同的结果，频率具有随机性． 1.2 概率反映了事件内在的规律性，不会随试验的不同而不同.我们常用大量重复试验的频率去估测事件的概率，一般来说，试验次数越多，越可靠（不能说：次数越多就一定越接近概率值）． 1.3 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值． 有一种误解：“概率是频率的近似值才对，因为我们常从频率估算概率，而频率对一定的试验来说是准确的．” 我们所定义的概率是一个理想值，如对一枚硬币来说，抛掷它出现正面的概率取决于硬币的具体构成，应该是确定的，由内在条件决定的，但是我们不知道这个精确值是多少．这样的一个理想值是确定的，而具体的频率是随机的(不同的人、不同的时间的试验会产生不同的结果)，是变量，一般会在概率周围波动．我们求出的“概率”实际上只是概率的估算值而已． 以下问题可以让学生去思考频率与概率的关系． 某厂申报自己产品的合格率为90%，一次抽检中在10件产品中发现有2件次品，请问是否说明该厂谎报合格率？ 分析：不能说明，因为一次抽查10件中发现几件次品是随意的，10件中次品的频率为，不一定就是概率，因为频率可在概率的周围波动，可对该产品作更多的抽查，如果当抽查数较大时，仍发现频率远远大于，可说明该厂谎报合格率． 又如，某同学投篮三次，全部命中．能否说明该同学命中的概率为100﹪？ 2. 关于古典概型 2.1明确的是古典概率是一类数学模型，并非是现实生活的确切描述． ① 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； ② 每个基本事件出现的可能性相等． 2.2现实对象可以用不同的模型来描述，进一步使学生升华对古典概型的认识，使学生的思维有层次，有程序培养概括综合能力3.古典概型与几何概型 3.1是两个数学模型，让学生体会它们在解决实际问题中的作用； 3.2是用于解决几何问题的模型； 3.3?可以很好地给出随机模拟的思想． 向平面上有限的区域（集合）G内随机的投掷点M，若点