千题百炼高中数学100个热点问题(三)第96炼平面几何.doc

第96炼 平面几何 一、基础知识： 1、相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形的判定 ① 三个角：若两个三角形对应角都相等，则这两个三角形相似 注：由三角形内角和为可知三角形只需两个内角对应相等即可，则有： 2、平行线分线段成比例：如图：已知，且直线与平行线交于则以下 （上比下（上比全（下比全（1）“A”字形：在中平行的直线交三角形另两边于即形成一个A”字在A”字形中可得?进而有以下线段成比例 ② ③ （2）“8”字形：已知，连结相交于即形成一个，从而 5、与圆相关的定理 （1）切割线定理：设是的切线为割线则有 （2）相交弦定理：设是圆内的两条弦且相交于则有 可作圆的两条切线且这两条切线的长度相等6、射影定理：已知在直角三角形中，为斜边上的高双垂直特点则以下等式成立 注：射影定理结合勾股定理，以及等面积法。在直角三角形中的边这五条线段中可到，通过方程进行求解切于点，割线与弦相交于点，且，若，则的长为___________ 思路是切线是割线联想到切割线定理所以有，解得从而求可联想到相交弦定理，即，，代入可得 答案： 例2：如图，四边形内接于圆，与圆相切于点，，为的中点，，，，则 ． 与圆相切可想到切割线定理：即，因为是直径，且为的中点，所以垂直平分，且和为对称的直角三角形。所以，，所以。在中，由切线可知，且，所以由射影定理可知，则，进而 答案： 例3：如图与圆相切于，为圆的割线，并且不过圆心，已知，，则圆的半径等于．思路：由与圆相切于，可得，从而，在中，可由，，可得：，从而，观察圆内的弦，延长交圆于，从而有，与半径进行联系可得：，代入数值可得 答案： 例4：如图，是半圆的直径延长线上一点，切半圆于点，于，若，则（ ）A. B. C. D. 思路：因为切半圆于点，在中具有双垂直的特点，所以只需已知两条边即可求出，由切割线定理可得：，，所以 ，即，从而，由射影定理可得： 答案：B 例5：如图，为外接圆的切线，平分，交圆于，共线．若则圆的半径是． 可知为圆的直径，由弦切角性质可得，且在圆中（对同弧），由平分，进而，在中，可知：，所以由可得：，在中，，可得，从而 答案： 例6：如图，内接于⊙，过中点作平行于的直线，交于点，交⊙于、，交⊙在点切线于点，若，则的长为 ． 思路：由为切线可想到切割线定理，所以，，只需求出即可。因为为切线所以弦切角因为所以从而进而可证，所以所以代入可得 答案： 例7：如图，已知和是圆的两条弦，过点作圆的切线与的延长线相交于，过点作的平行线与圆交于点,与相交于点,,,,则线段的长为_________ 思路：由是切线且是割线可想到切割线定理所以分别计算各线段长度由,,可使用相交弦定理得，再由可得，所以同时代入 答案： 例8：如图，已知与相切，为切点，过点的割线交于两点，弦，相交于点，点为上一点，且，若，，，则 . 与相切，只需求出即可。从题目条件中很难直接求出这两个量，考虑寻找题目中的相似三角形。由可得：，所以①。由切割线定理可知②。因为，所以，进而，所以，则，代入，，所以，由①可算得，所以，。则 答案： 例9：如图，切圆于点割线经过圆心若平分交圆于点连结交圆于点则的长等于思路：由图可知若要求得，可想到切割线定理模型只需求得即可与切线可想到切割线定理从而可计算出，可将其放入中计算，需要求解在中通过边的关系可判定，由角平分线可知所以从而可用余弦定理计算出即可算出 切圆于点 由可得 在中 平分 在中 由切割线定理可得：　　　 答案： 例10：如图，是圆的两条平行弦，∥交于点，交圆于点，过点的切线交延长线于点，若，则的长为__________ 思路：由切割线定理可得 从而，由两组平行关系可得四边形为平行四边形从而由可得，若设为则可想到相交弦定理①，所以只需用表示出即可得到关于的方程与圆相切所以结合可得，所以有即结合比例可知，由相交弦定理可得 ，代入①可得：，解得 答案： 三、历年好题精选 1、（2015，天津）如图，在圆中是弦的三等分点弦分别经过点若则线段的长为 B. C. D. 2、（2015，广东）如图，已知是圆的直径，是圆的切线切点为过圆心作的平行线分别交于点和点则3、（2014，重庆）过圆外一点作圆的切线为切点再作割线依次交圆于若则4、（2015，新课标II）如图，为等腰三角形内一点与的底边交于两点与底边上的高交于点且与分别相切于两点 （2）若等于的半径且求四边形的面积 5、（2014，湖北）