南通大学实验报告..docx

南通大学实验报告定积分与定积分的近似计算学院： 理学院班级：数师153班学号：1502012072姓名： 顾阳第一部分实验报告书解读一、实验目的实验主要是分析用矩阵公式，梯形公式，辛普森公式求定积分的近似值，并比较它们与定积分的近似情况。可以先学习定积分的数值计算方法，理解定积分的定义，掌握牛顿-莱布尼茨公式。?二、实验材料1.1定积分的数值计算?计算定积分的近似值，可将积分区间等分而得矩形公式程序为或也可用梯形公式近似计算如果要准确些，可用辛普森公式对于，矩形公式、梯形公式、辛普森公式的Mathematica程序为a=0;b=1;k=10; f[x_]:=Sin[x];d=N[Integrate[f[x],{x,a,b}],k];（计算精确值）s1[m_]:=N[Sum[f[a+i*(b-a)/m]*(b-a)/m,{i,0,m-1}],k];（取小区间左端点的矩形公式）s2[m_]:=N[Sum[f[a+(i+1/2)*(b-a)/m]*(b-a)/m,{i,0,m-1}],k]（取小区间中点的矩形公式）s3[m_]:=N[Sum[f[a+i*(b-a)/m]*(b-a)/m,{i,1,m}],k]; （取小区间右端点的矩形公式）s4[m_]:=N[Sum[(f[a+i*(b-a)/m]+f[a+(i+1)*(b-a)/m])/2*(b-a)/m,{i,0,m-1}],k]; （梯形公式） s5[m_]:=N[(b-a)/m/6*((f[a]+f[b])+2*Sum[f[a+i*(b-a)/m],{i,1,m-1}] +4*Sum[f[a+(i-1/2)*(b-a)/m],{i,1,m}]),k];（辛普森公式） t=Table[{s1[m],r1[m],s2[m],r2[m],s3[m],r3[m],s4[m],r4[m],s5[m],r5[m]}, {m,100,1000,100}]1.2可积的条件设f(x)=sinx,取a=0,b=1对于，矩形公式、梯形公式、辛普森公式的Mathematica程序为a=0;b=1;k=10; f[x_]:=Sin[x];d=N[Integrate[f[x],{x,a,b}],k];（计算精确值）s1[m_]:=N[Sum[f[a+i*(b-a)/m]*(b-a)/m,{i,0,m-1}],k];（取小区间左端点的矩形公式）s2[m_]:=N[Sum[f[a+(i+1/2)*(b-a)/m]*(b-a)/m,{i,0,m-1}],k]（取小区间中点的矩形公式）s3[m_]:=N[Sum[f[a+i*(b-a)/m]*(b-a)/m,{i,1,m}],k]; （取小区间右端点的矩形公式）s4[m_]:=N[Sum[(f[a+i*(b-a)/m]+f[a+(i+1)*(b-a)/m])/2*(b-a)/m,{i,0,m-1}],k]; （梯形公式） s5[m_]:=N[(b-a)/m/6*((f[a]+f[b])+2*Sum[f[a+i*(b-a)/m],{i,1,m-1}] +4*Sum[f[a+(i-1/2)*(b-a)/m],{i,1,m}]),k];（辛普森公式） r1[m_]:=d-s1[m];r2[m_]:=d-s2[m];r3[m_]:=d-s3[m];r4[m_]:=t=Table[{s1[m],r1[m],s2[m],r2[m],s3[m],r3[m],s4[m],r4[m],s5[m],r5[m]}, {m,100,1000,100}]1.3牛顿-莱布尼茨公式设函数在上连续，而且是的一个原函数，则有牛顿-莱布尼兹公式。函数在不连续、不存在原函数，但在上可积；函数在不连续，但在上可积。此外函数处处不连续、不存在原函数，在任意区间(长度大于0)上不可积。求原函数并验证牛顿-莱布尼兹公式的Mathematica程序f[x_]:=Sin[x];Integrate[f(x),x]（求不定积分）F[x_]:=%（定义原函数）d=NIntegrate[f(x),{x,a,b}]（求定积分） df=F[b]-F[a] （计算原函数的增量）三、实验所用软件及版本?Mathematica?5.0第二部分 实验计划（一）定积分的数值计算?1.程序修改a=0;b=1;k=10; f[x_]:=Sin[x];d=N[Integrate[f[x],{x,a,b}],k];s1[m_]:=N[Sum[f[a+i*(b-a)/m]*(b-a)/m,{i,0,m-1}],k]; s2[m_]:=N[Sum[f[a+(i+1/2)*(b-a)/m]*(b-a)/m,{i,