压缩感知中测量矩阵的优化研究..docx

文献阅读报告课程名称矩阵分析与线性空间任课老师王霞 邓科 题目压缩感知中测量矩阵的优化研究研究生姓名高蕊董晨霓尚青学号 3115091014 31153130143115091034目录一、压缩感知理论2二、常用测量矩阵42.1 随机高斯测量矩阵42.2 随机贝努利测量矩阵42.3 部分哈达玛测量矩阵52.4 部分正交测量矩阵52.5 稀疏随机测量矩阵5三、测量矩阵的设计与优化53.1 基于近似QR分解的测量矩阵优化方法53.2 基于奇异值分解(SVD)的测量矩阵优化方法63.3 基于特征值分解的测量矩阵优化方法73.4 基于相关性梯度迭代的测量矩阵优化方法9四、总结12参考文献13压缩感知理论由采样定理可知，如果想要从离散的数字信号中无失真地恢复出原始连续信号，则采样频率必须大于或等于原始信号频率的两倍。但是，随着人们对信息需求量的不断增加，奈奎斯特采样率过高，导致采样信息太大，而且先采样后压缩又导致了存储空间的浪费。2006年,Donoho和Candes等人提出了一种全新的信号处理理论——压缩感知理论。压缩感知理论是利用信号的稀疏性或可压缩性，通过低维空间采样数据的非相关性测量来实现高维信号的近似或精确重构。在压缩感知的理论下，信号处理可以以远远低于奈奎斯特采样率的频率进行采样，同时又能保留信号的有用信息，继而可以完全恢复信息。压缩感知的核心思想是在已知信号本身是稀疏的或可以系数表示的前提下，通过设计一种测量矩阵将原始的高维信号投影到一个低维的空间上，然后求解一个非线性优化问题就可以从少量的测量值中较高概率地恢复出原始信号。因此，压缩感知理论包含了三个主要方面：稀疏表示、非相关测量、非线性优化重建。设长度为N的离散实值信号x，在某种变换域下，可以用一组基的线性组合表示成：或者其中，s是x在域中的变换向量，是的变换矩阵。当信号x在基上只有个KN个非零系数，则称是x的K稀疏基。信号x经过一个大小为的测量矩阵线性投影，得到长度为的测量值y： （1.1）其中为测量矩阵，大小为。若x是可压缩的，则上式可表示为：其中，大小为，是稀疏基。由于式（1.1）中，，方程个数远比未知数的个数少，所以求解这个方程是十分困难的。要想使式（1.1）有确定的解，则必须满足等距约束性条件（Restricted Isometry Property，RIP）：对于任意具有严格K稀疏的向量s，矩阵满足如下不等式其中，为等距约束常数，且。然而，实际中要直接验证矩阵是否满足RIP条件是十分困难的，于是我们可以用RIP的等价情况，即非相干性来引导矩阵的设计。矩阵和矩阵的相干性定义为：可知，相干系数。相干系数越小，则矩阵和的非相干性越大，就越能精确地重建原始信号。信号重建就是求解式（1.1）的逆问题。可以通过求解范数最小问题得到稀疏系数s的近似，也就是含有最少非零元素的解。然后通过就可以将x求解出来。由于范数难以求解，可以通过求解它的等价问题范数最小问题来解得x。二、常用测量矩阵2.1 随机高斯测量矩阵构造一个大小为的矩阵，使中的每一个元素独立的服从均值为0，方差为1/M的高斯分布，即：文献[1]中证明，当随机高斯测量矩阵的测量数时，便会以极大的概率满足RIP条件。随机高斯测量矩阵与大多数的正交基不相关，而且精确重构所需的测量数比较少。2.2 随机贝努利测量矩阵构造一个大小为的矩阵，使中的每一个元素独立服从贝努利分布，即：或同随机高斯测量矩阵一样，当随机贝努利测量矩阵的测量数时，便会以极大的概率满足RIP条件(其中c是一个很小的常数)。相对于随机高斯测量矩阵，由于随机贝努利测量矩阵的元素为±1,所以在实际应用中更容易实现和存储。2.3 部分哈达玛测量矩阵首先生成一个大小的哈达玛矩阵，然后随机的从该哈达玛矩阵中选取M行向量，构成一个大小为的测量矩阵。由于哈达玛矩阵是正交矩阵，故部分哈达玛矩阵仍旧具有较强的非相关性，但其维数的大小必须满足2的整数倍，限制了该矩阵的应用范围。2.4 部分正交测量矩阵首先生成大小为的正交矩阵U ，然后在矩阵U中随机的选取M行向量，最后对大小的矩阵进行列向量归一化，即得到测量矩阵。在矩阵大小固定的情况下，要是信号能够精确重建，其稀疏度要满足：。当时，部分正交矩阵就变为部分傅里叶矩阵。2.5 稀疏随机测量矩阵首先生成一个大小为的全零矩阵，且。然后对于矩阵的每一列，随机的选取d个位置并置1。稀疏随机矩阵结构简单,在实际应用中易于构造和保存。三、测量矩阵的设计与优化压缩感知理论的关键就是测量矩阵的设计。一个好的测量矩阵可以使稀疏信号有效的投影到一个低维的空间上而且在压缩的过程中不会丢失携带的有用信息，在重建的过程中使用重构算法能够确保信号被恢复出来。在文献[1]中，我们得知设计的测量矩阵必须要满足几个性质：（1）测量矩阵的列向量必须满足一定的