[高中数学必修2——第二章点直线平面之间的位置关系预习教师版.docVIP

高中数学必修2点、直线、平面之间的位置关系预习（教师版） 一、空间点、直线、平面的位置关系 1、平面 （1）画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长 如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画。 平面的表示方法：通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。 A D B C (3)平面的点：平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。 点A在平面α内，记作：A∈α 点B在平面α外，记作：B α （4）平面的基本性质：无限延展性 （5）公理（用尺子在桌面上移动引入） 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内． 点A在直线a上，记作A∈a；点A在直线a外，记作Aa； 点A在平面α内，记作A∈α；点A在平面α外，记作Aα； 直线a在平面α内，记作aα；直线a在平面α外，记作aα． 公理1用集合符号表示为：A∈a，B∈a，A∈α，B∈α，则有ａα． 例1：证明如果一个三角形的两边在一个平面内，那么第三边也在这个平面内． 注意：在分析过程中，一定要强调“要证明直线在平面内，则应该证明什么？条件中有没有，没有如何去创造”．通过这种逆推思路的分析，培养学生良好的思考习惯． 课堂练习1：判断下列命题的真假 ① 如果一条直线不在平面内，则这条直线与平面没有公共点．（ X ） ② 过一条直线的平面有无数多个．（V ） ③ 与一个平面没有公共点的直线不存在．（X） ④ 如果线段AB在平面α内，则直线AB也在平面内a．（V） （扇门用两个合页和一把锁就可以固定了） 公理2：　经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．（如图14-3） 推论1　经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面．（如图14-6） 类似地可以得出下面两个推论： 推论2　经过两条相交直线，有且只有一个平面．（如图14-7） 推论3　经过两条平行直线，有且只有一个平面．（如图14-8） （将矩形硬纸板的一顶点放在讲台面上，让学生观察，并同时提出问题：能否说这两个平面只有一个公共点？） 公理3　如果两个不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．（如图14-5） 公理3的数学符号语言： P∈α，P∈β α∩β＝a，P∈a． 课堂练习2：判断下列命题的真假． ①如果两个平面有两个公共点A，B，那么它们就有无数个公共点，并且这些公共点都在直线AB上．（V） ②两个平面的公共点的集合可能是一条线段． （ X ） 例2：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内．（如图14-9） 已知：AB∩AC＝A，AB∩BC＝B，AC∩BC＝C． 求证：直线AB，BC，AC共面． 证法1：因为AB∩AC＝A， 所以直线AB，AC确定一个平面α．（推论2） 因为B∈AB，C∈AC， 所以B∈α，C∈α， 故BCα．（公理1） 因此，直线AB，BC，CA都在平面α内，即它们共面． 证法2：因为A直线BC， 所以过点A和直线BC确定平面α．（推论1） 因为A∈α，B∈BC，所以B∈α． 故ABα， 同理ACα， 所以AB，AC，BC共面． 证法3：因为A，B，C三点不在一条直线上， 所以过A，B，C三点可以确定平面α．（公理2） 因为A∈α，B∈α，所以ABα．（公理1） 同理BCα，ACα，所以AB，BC，CA三直线共面． 思考：在这道题中“且不过同一点”这几个字能不能省略，为什么？ （不能，如果三条直线两两相交且过同一点，则这三条直线可以不共面） 空间中直线与直线的的关系 （1）同一平面内的两条直线位置关系有哪些？（平行、相交） （2）空间的两条直线有哪些位置关系呢？ （1）、空间的两条直线有如下三种关系：　　　　　　 相交：同一平面内，有且只有一个公共点 　　　　　　　 平行：同一平面内，没有公共点 　　 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 例1：判断：下列各图中直线l与m是异面直线吗? 1 2 3 4 5 6