变量代换求解常微分方程..doc

题目： 变量代换求解常微分方程 理学院 专 业： 信息与计算科学 学 生： 郝腾宇  摘 要 本问了变量代换在常微分方程中的应用，借助恰当的简化为解类型，求出其或特同时举出实例证明 变量代换法不仅是一种重要的解题技巧,也是一种重要的数学思维方法。常微分方程通解的求法具有多样性,不同类型的微分方程有不同的解 。其中变量代换法是求解常微分方程行之有效的方法,我们如果能通过适当的变量代换法将复杂的微分方程化为可解类型,这样能使求解问题大为简化,进而求出通解。本文就变量代换法在常微分方程课程中的应用展开探讨,给出各种类型常微分方程恰当的变量代换求其通解或者特解。 ：常微分方程变量代换法、通解、特解  变量代换法求解一阶微分方程……………………………………………………………3 变量代换法求解二阶微分方程…………………………………………………………………6 变量代换法求解阶微分方程…………………………………………………………………7 变量代换法求解n阶微分方程…………………………………………………………………7 变量代换法求解Euler阶微分方程……………………………………………………………9 法在研究解或轨线性态中的应用…………………………………………….10 法求解常微分方程……………………………………………………………………11 法求解常微分方程……………………………………………………………………13 求解常微分方程………………………………………………………… ……14  变量代换法求解微分方程 1对于微分方程 这里 的连续 函数，做变量代换方程变量方程求解 2)对于准齐次微分方程这里，，，，均为常数。 当（常数）时，方程直接化为有通： 当时，做变量代换将方程化为方程 上式求解 ③当时，做变换其中直线 直线平面的交点，将转化为次方程 上式求解。 3的类型这里，，，， 均为常数 当（常数），直接转化为有通解 ②当时，做变量代换，将方程化为变量分离方 程 由上式可求解。 ③当时，作变换，其中（）为直线 和直线在平面的交点，将方程化为齐次方程 由上式即 4）对于方程，这里a，b，c均为常数，作变量代换，将方程化为变量分离方程 由上式可求解。 5）对于方程，这里m，n，均为常数，作变量变换，将方程化为变量分离方程 由上式即 6）对于方程，这里为常数，作变量变换，是方程化为变量分离方程 由上式即 7）对于方程，其中M,N为关于x，y的其次函数，做变量变换，化为变量分离方程 由上式即 8）对于Bernoulli方程，这里P(x)，Q(x)为连续函 数，为常数。当时用乘以原方程两边得 作变量代换 使方程化为线性微分方程，可求解。 9）对于Riccati方程，当R(x)恒为零时，Riccati方程就是Bernoulli方程，可采用8）中的变换求解； 当R(x)不为零时，若y（x）为Riccati方程的一特解，作变量代换，使方程化为一个关于z的Bernoulli方程 由上式即 10）对于一阶非齐次线性微分方程，若Q(x)=0，则方程变为一阶齐次线性微分方程，有通解； 若对原方程作变量变换，求得待定函数，代会变换，即得方程的通解。 2 变量代换法求解二阶微分方程 1)对于二阶变系数齐次微分方程 （1） 设是方程（1）的一特解，变量变换，将方程化为一阶线性微分方程，可求解。 2)对于二阶变系数线性非齐次微分方程 （2） 当方程（2）满足（ 为常数）时，作自变量代换 （ 为常数） （3） 则方程（3）可化为 （4） 方程（4）两边乘除以，得 （5） 由于 所以，又 为常数， 由此可知，方程（2）可化为二阶常系数线性微分方程 。 3 变量代换发求解三阶微分方程 考虑三阶变系数齐次微分方程 （6） 和时，可作变换 ，则方程（6）可化为 （7） 将和代入（7）得到常系数齐次微分方程 考虑三阶变系数线性非齐次微分方程 （8） 其中 ， 都是 的已知连续函数，且二次可微，为常数。作自变量变换，则方程可化为 （9） 方程（9）两边同时除以得到三阶常系数线性微分方程 4 变量代换发求解n阶微分方程 1） 考虑n阶非齐次线性微分方程 （10） 设方程（10）对应的n阶齐次微分方程 （11） 通解为 （12） 作变量变