矩阵的可对角化及其应用 2矩阵的可对角化及其应用 2.doc

附件： 分类号O15 商洛学院学士学位论文 矩阵的可对角化及其应用 作者单位 数学与计算科学系 指导老师 刘晓民 作者姓名 陈毕 专业﹑班级 数学与应用数学专业07级1班 提交时间 二0一一年五月 矩阵的可对角化及其应用 陈毕 （数学与计算科学系2007级1班） 指导老师 刘晓民 摘要：矩阵可对角化问题是矩阵理论中的一个重要问题，可对角化矩阵作为一类特殊的矩阵，在理论上和应用上有着十分重要的意义。本文对可对角化矩阵做出了全面的概括和分析，并利用高等代数和线性代数的有关理论给出了矩阵可对角化的若干条件，同时也讨论了化矩阵为对角形的求解方法，最后总结出可对角化矩阵在求方阵的高次幂﹑利用特征值求行列式的值﹑由特征值和特征向量反求矩阵﹑判断矩阵是否相似﹑向量空间﹑线性变换等方面的应用. 关键词：对角化；特征值；特征向量；相似；线性变换 Matrix diagonolization and its application Chen Bi (Class 1,Grade 2007,The Depart of Math and Calculation Science) Advisor:Lecturer Liu Xiao Min Abstract: Matrix diagonolization problem is an important problem in matrix theory diagonolization matrix, as a kind of special matrix, in theory and application has the extremely vital significance. This paper has made diagonolization matrix analysis and generalization, and using higher algebra and linear algebra are given the relevant theory of matrix several conditions diagonolization, also discussed the matrix of the diagonal shape of solving method, and finally summarized; diagonolization matrix in high power, the policy of using eigenvalue beg determinant by characteristic value and value, feature vector reverse matrix, judgment matrix is similar, vector Spaces, the application of linear transformation, etc. Key words: The diagonalization; Eigenvalue; Feature vector; Similar; Linear transformation 引言 所谓矩阵可对角化指的是矩阵与对角阵相似，而说线性变换是可对角化的指的是这个线性变换在某一组基下是对角阵（或者说线性变换在一组基下的矩阵是可对角化的），同样可以把问题归到矩阵是否可对角化。本文主要是讨论矩阵可对角化的判定条件以及如何应用可对角化的相关性质将矩阵化为对角形，同时也总结了它在相关方面的运用。 预备知识：定义1：如下形式的n×n矩阵= 称为对角矩阵简记为=diag(,,,) 定义2：把矩阵A（或线性变换）的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的首项为1的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵A（或线性变换）的初等因子。 定义3：设A是数域P上的n级矩阵，如果数域P上的多项式f(x)使得f(x)=0，则称f(x)以A为根，在以A为根的多项式中，次数最低且首项系数为1的多项式称为A的最小多项式。 定义4：设V是P上的线性空间，是V上的一个变换，如果对任意V和P都有，则称为V的一个线性变换 定义5：设是数域P上线性空间V的一个线性变换，如果存