[10_高中数学竞赛系列讲座——数列.docVIP

高中数学竞赛系列讲座——数列（等差数列与等比数列） 　数列是高中数学中的一个重要课题，也是数学竞赛中经常出现的问题。数列中最基本的是等差数列与等比数列。 　　所谓数列，就是按一定次序排列的一列数。如果数列{an}的第n项an与项数(下标)n之间的函数关系可以用一个公式an=f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。 　　从函数角度看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…n})的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。 　　为了解数列竞赛题，首先要深刻理解并熟练掌握两类基本数列的定义、性质有关公式，把握它们之间的(同构)关系。 　　一、 等差数列 　　如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。 　　等差数列{an}的通项公式为：　　　　an=a1+(n-1)d (1)前n项和公式为：　　　　(2) 　　从(1)式可以看出，an是n的一次数函(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由(2)式知，Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。 　　在等差数列{an}中，等差中项：　　　　， 　　且任意两项am，an的关系为：　　　　an=am+(n-m)d 它可以看作等差数列广义的通项公式。 　　从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出： a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…,n} 　　若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有　　　　am+an=ap+aq　　　　Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1　　　　Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或等差数列，等等。 　　二、 等比数列 　　如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。 　　等比数列{an}的通项公式是：　　　　an=a1·qn-1 　　前n项和公式是：　　　　 　　在等比数列中，等比中项：　　　　， 　　且任意两项am，an的关系为an=am·qn-m 　　如果等比数列的公比q满足0＜∣q∣＜1，这个数列就叫做无穷递缩等比数列，它的各项的和(又叫所有项的和)的公式为： 　　从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： 　　　　a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n} 　　若m，n，p，q∈N*，则有：　　　　ap·aq=am·an，　　记πn=a1·a2…an，则有　　　　π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1 　　另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则{Can}是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。 　　重要的不仅是两类基本数列的定义、性质，公式；而且蕴含于求和过程当中的数学思想方法和数学智慧，也是极其珍贵的，诸如“倒排相加”(等差数列)，“错位相减”(等比数列)。 　　数列中主要有两大类问题，一是求数列的通项公式，二是求数列的前n项和。 　　三、 范例 　　例1．设ap，aq，am，an是等比数列{an}中的第p、q、m、n项，若p+q=m+n，求证：apoaq=amoan 　　证明：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则　　　　ap=a1·qp-1，aq=a1·qq-1，am=a1·qm-1，an=a1·qn-1　　所以：　　　　ap·aq=a12qp+q-2，am·an=a12·qm+n-2，　　故：ap·aq=am+an 　　说明：这个例题是等比数列的一个重要性质，它在解题中常常会用到。它说明等比数列中距离两端(首末两项)距离等远的两项的乘积等于首末两项的乘积，即：　　　　a1+k·an-k=a1·an 　　对于等差数列，同样有：在等差数列{an}中，距离两端等这的两项之和等于首末两项之和。即：　　　　a1+k+an-k=a1+an 　　例2．在等差数列{an}中，a4+a6+a8+a10+a12=120，则2a9-a10= 　　　A.20 B.22 C.24 D28 　　解：由a4+a12=2a8，a6+a10 =2a8及已知或得　　　　　　　5a8=120，a8=24　　而2a9-a10=2(a1+8d)-(a1+9d)=a