[11度量空间的定义与极限.docVIP

第一章 度量空间 若在实数集中点列的极限是时，我们使用来表示和的接近程度，事实上，可表示为数轴上和这两点间的距离，那么实数集中点列收敛于也就是指和之间的距离随着而趋于0，即． 于是人们就想，在一般的点集中如果也有“距离”，那么在点集中也可借这一“距离”来定义极限，而究竟什么是“距离”呢？或者说“距离”的本质是什么？ 诗人顾城的一首诗《远和近》对距离的感受又如何呢？ 远和近 你 一会看我 一会看云 我觉得 你看我时很远 你看云时很近 这首诗诗似乎是纯理性的，十分冷静，但细细品味，其中暗暗催动着一股热流：呼唤一种相互理解、相互信任、和谐融洽的人际关系．现实距离和心理距离并不总是一致的现实距离很远，但心理距离却可能很近，“海内存知己，天涯若比邻”，即是此意也可能现实距离很近，而心理距离却很远，所谓“咫尺天涯”大概就是指此而言了为一非空集合．若存在二元映射，使得，均满足以下三个条件： （1）且当且仅当 (非负性 Positivity)； （2） (对称性 Symmetry)； （3） (三角不等式 Triangle inequality)， 则称为上的一个距离函数，称为距离空间或度量空间(Metric Spaces)，称为和两点间的距离．□ 注1：在不产生误解时，可简记为． 下面我们来看一些具体的例子 例 1.1.1 欧氏空间． 设，定义 ． 其中 ，可以验证是一个度量空间． 在证明之前，引入两个重要的不等式． 引理1.1.1 (许瓦兹(Schwarz)不等式) 任给个实数，有 (1.1) 证明 任取实数，则由 知右端二次三项式的判别式不大于零，即 于是可得(1.1)式成立．□ 进一步有H?lder不等式 其中且，称这样的两个实数为一对共轭数． 引理1.1.2 闵可夫斯基(Minkowski)不等式的和形式 任给个实数及，有 (1.2) 证明 由(1.1)式得 这就证明了(1.2)式．□ 进一步可有Minkowski不等式的一般形式，其中 例 1.1.1 欧氏空间． 设，定义 ． (1.3) 其中 ，可以验证是一个距离函数． 证明 非负性(1)和对称性(2)显然成立，下面仅验证(3)也成立．对于任意的，由闵可夫斯基不等式(1.2)有 ， 即．从而得证是一个距离函数．□ 注2：称为维欧氏空间，称为欧氏距离或标准欧氏距离．今后若不作特殊申明，凡提到度量空间，均指由(1.3)式的欧氏距离所定义的． 注3：在中我们还可以定义其他的距离： ； ． 可以验证距离、均满足条件(1)、(2)和(3)． 注4：在中比较上述三种距离、和，可看看他们各表示什么？ 由此知道，在一个集合上，定义距离的方法可以不止一种．但务必注意的是，由于定义的距离不同，所以即使基本集相同，也应视他们为不同的度量空间． 下面的例子说明任何一个集合上均可定义距离，使其成为度量(距离)空间． 例1.1.2 离散度量空间 设为非空集合，，定义距离 (1.4) 容易验证满足距离的三个条件，并称之为离散距离，为离散度量空间． 例 1.1.3 连续函数空间 ，，定义 ， 证明 显然满足非负性(1)和对称性(2)，下面验证(3)也成立． 及均有 ， 故．称为连续函数空间，简记为．□ 注5：在中我们还可以定义如下的距离： ． 可以验证均满足条件(1)、(2)和(3)，所以也为一度量空间． 例 1.1.4 有界数列空间 ，对于，，定义 ， 可以验证是一个距离函数，并称为有界数列空间，简记为． 例1.1.5 次幂可和的数列空间 ，定义 (1.5) (1.5)式是有意义的，因为由闵可夫斯基不等式及的定义知其右端有界．可以证明是一个距离函数．称为次幂可和的数列空间，简记为． 例1.1.6 次幂可积函数空间 即： 在中，我们把几乎处处相等的函数视为同一函数． 对于，定义距离 那么为度量空间． 并称为次幂可积函数空间，简记为． 分析 集合具有下列重要性质： (1)对线性运算是封闭的．即若，是一常数，则 ． (2)． 设，令，，则 故． 引理1.1.3 闵可夫斯基(Minkowski)不等式(积分形式): 设、是可测集上的可测函数且