[11隐函数.docVIP

第一章 函数 教学内容：1．正确理解和掌握函数、有界函数和无界函数、单调函数和奇偶函数的概念，了解函数的各种表示法和记号。 2．理解和掌握函数的四则运算与复合、反函数的定义与图象等。 3．熟练掌握基本初等函数的定义和性质，并能绘出它们的草图。 4．了解几个常用的非初等函数的例子。 教学目标：本章通过对中学数学相关内容的一些整理和回顾，引入数学分析定义概念及否定概念的思维方式，最终明确初等函数的概念。 教学重点：五个特殊函数（）的初等性质；四种特殊性质函数的严格的分析定义及否定；初等函数的概念及几个特殊的初等函数 ()。 教学难点：的初等性质；有界及无界函数的概念。 教学方法 教学课时： 12课时 课时分配 节数 第一节 第二节 第三节 小节 课时 5 4 3 教学过程 § 1.1 函数 一. 函数概念: 实例（见P1-P3） 定义 设A是非空数集，若存在对应关系f，对中任意x(x ∈A)，按照对应关系f，对应唯一一个y ∈R，则称f是定义在A上的函数,表示为 f : A → R. 数x对应的y称为x的函数值，表示为y = f(x)。x称为自变量，y称为因变量。数集A称为函数f的定义域，函数值的集合称为函数f的值域。 关于函数的注: 1°函数f由两个因素完全确定； 2°在函数概念中，对应关系f是抽象的，只有在具体函数中，对应关系f才是具体的； 3°关于定义域：存在域和定义域； 4°单值对应 5°函数概念的不严格性。 二. 函数的四则运算 1、两个函数的相等 定义1 设两个函数f与g分别定义在数集A与B.若A=B，且有，则称函数f与g相等，表示为f = g. 2、函数的四则运算 定义2 设两个函数f与g分别定义在数集A与B.若，则函数f与g的和f+g、差f - g、积fg分别定义为 定义3、设两个函数f与g分别定义在数集A与B.若，则函数f与g的商定义为 例1 下列各组函数中，表示同一函数的是 （ ） A 和 B 和 C 和 D 和 E 和 F 和 例2 下列各组函数中，定义域相同函数的是 （ ） A 和 B 和 C 和 D 和 三. 函数的图象: 1、函数图象的定义 定义 设函数定义在数集A.坐标平面上的点集 称为一元函数在数集A上的图象。 2、几个特殊函数 (1) 整数部分函数 “，对应的y是不超过x的最大整数”，表示为. 其图象是 (2) 小数部分函数 “，对应的y =x－［x］”，表示为. 其图象是 (3) 符号函数 “，对应的y =1；，对应的y =0；，对应的y =-1”表示为，即 . 其图象是 (4) 狄利克雷函数 “当是有理数时，，对应的y=1，当是无理数时，对应的y=0”，表示为.即 其图象大体是 (5) 黎曼函数 “当 ，对应的，当是无理数时，对应的y=0”，表示为.即 其图象大体是 四、数列 定义 定义在正整数集N+上的函数f(x)称为数列。 例 的不足近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，0.0001……的数列是； 1，1.4，1.41，1.414，1.4142，1.41421，…… 用整数函数部分函数可以表示为： …… § 1.2 函数 一、有界函数 1、有界函数的定义 定义 设函数f(x)在数集A有定义。若函数值的集合 有上界(有下界，有界)，则称函数f(x)在A有上界(有下界，有界),否则称函数f(x)在A无上界(无下界，无界). 函数f(x)在A有上界 有 函数f(x)在A无上界 有 函数f(x)在A有下界 有 函数f(x)在A无下界 有 函数f(x)在A有界 有 函数f(x)在A无界 有 2、有界函数的几个例子 (1) 正弦函数和余弦函数有界; (2) 反正弦函数和反余弦函数有界; (3) 整数函数有界; (4) 小数函数有界; (5) 符号函数有界; (6) 狄利克雷函数有界; (7) 黎曼函数有界. 例1 验证函数 在内有界. 解法一 由 当时,有 , 对 总有 即在内有界. 解法二 令 关于的二次方程 有实数根. 解法三 令 对应 于是 二、单调函数 1、单调函数的定义 定义 设函数f(x)在数集A有定义.若且,有 () 则称函数f(x)在A严格增加(严格减少).上述不等式改为 () 则称函数f(x)在A单调增加(单调减少) 2、单调函数的几个例子 (1) 指数函数单调; (2) 对数函数单调; (3) 反正切函数单调; (4) 小数